Determine a soma de todos os números naturais para os quais 3^{x-3} \leq 81.52 .28

Passo 1

O enunciado pede para determinar a soma de todos os naturais x tais que
3^{x-3} \le 81 \cdot 52 \cdot 28.
O conteúdo aqui é resolução de uma inequação exponencial e soma de termos de uma progressão aritmética de razão 1.

Passo 2

Primeiro calculamos o produto do lado direito:
81 \cdot 52 \cdot 28 = 81 \cdot (52 \cdot 28).
Como 52 \cdot 28 = 1456, temos
81 \cdot 1456 = 117936.
Logo a desigualdade fica
3^{x-3} \le 117936.

Passo 3

Para resolver 3^{x-3} \le 117936, observamos potências de 3:
3^{10} = 59049,\quad 3^{11} = 177147.
Vemos que
59049 \le 117936 < 177147,
portanto o maior expoente inteiro k que satisfaz 3^k \le 117936 é k=10. Então
x-3 \le 10 \quad\Longrightarrow\quad x \le 13.

Passo 4

Como x deve ser um número natural e não há restrição inferior além de x\ge1, concluímos que
x \in \{1,2,3,\dots,13\}.

Passo 5

Finalmente, a soma de todos esses naturais é a soma dos inteiros de 1 a 13, que é
1 + 2 + \cdots + 13 = \frac{13\cdot14}{2} = 91.

Resposta

91

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