Um estudante de Engenharia vê um prédio do Campus da UMC construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30^circ. Aproximando-se do prédio mais 40 m , passa a vê-lo sob um ângulo de 60^circ. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, então a altura h do prédio é igual a:

Passo 1

O enunciado nos diz que um estudante vê um prédio de altura h em um terreno plano sob dois ângulos de visão diferentes: 30° a uma certa distância inicial e 60° após se aproximar 40 m. O conteúdo envolvido é trigonometria em triângulos retângulos, em particular a definição de tangente de um ângulo.

Passo 2

Em um triângulo retângulo a tangente de um ângulo α é dada por cateto oposto sobre cateto adjacente. Na primeira posição, seja x a distância horizontal do estudante até a base do prédio. Então temos
tan 30^circ = hx
Como tan 30^circ = tfrac1raiz3, segue que
x = htan 30^circ = h1/raiz3 = hraiz3

Passo 3

Ao se aproximar 40 m, a nova distância até a base passa a ser
x - 40 = hraiz3 - 40
Nesse ponto, o ângulo de visão é 60°, e tan 60^circ = raiz3. Então:
tan 60^circ = hx - 40 implies raiz3 = hhraiz3 - 40

Passo 4

Basta agora resolver essa equação para h. Primeiro multiplica-se ambos os lados por hraiz3 - 40:
raiz3,(hraiz3 - 40) = h
Como raiz3,hraiz3 = 3h, obtemos:
3h - 40raiz3 = h implies 2h = 40raiz3 implies h = 20raiz3

Resposta

20raiz3,m

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