Determine se a squência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=(4+1n)^1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
an = (4 + 1n)^1/2
converge ou diverge quando n to infty. O conteúdo necessário envolve limites de sequência e a propriedade de preservação de limites por funções contínuas.

Passo 2

Calculamos primeiro o limite interno. Como é bem conhecido que
limntoinfty1n = 0,
seguimos para a próxima etapa.

Passo 3

Note que a função
f(x) = raizx
é contínua em [0,infty). Portanto, podemos passar o limite para dentro da raiz:
limntoinftyan = limntoinftyraiz4 + 1n = raizlimntoinftyl(4 + 1nr)

Passo 4

Como limntoinfty(4 + tfrac1n) = 4 + 0 = 4, temos
limntoinftyan = raiz4 = 2
Logo, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 2

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