Teste da Segunda Derivada para Funções de uma Variável Real: Suponha que seja contínua na proximidade de .
(a) Se e , então é ponto de mínimo local de .
(b) Se e , então é ponto de máximo local de .
Com base nisso um professor prôpos a seus alunos na maratona de cálculo II o seguinte problema: Sejam funções que admitem derivadas de 2 ordem contínuas tais que assume um valor máximo local em e assume um valor mínimo local em . Considere uma função de duas variáveis reais definida por . Mostre que o ponto é ponto crítico de e, em seguinda, classifique-o.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com derivadas de segunda ordem e funções de várias variáveis. O problema pede para mostrar que o ponto é um ponto crítico da função $ h(x, y) = f(x) + g(y) $ e depois classificá-lo. Pra isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e como usar a segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Em funções de várias variáveis, um ponto crítico é onde todas as derivadas parciais primeiras são iguais a zero. Ou seja, para $ h(x, y) $, precisamos calcular e e ver onde elas são zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ h(x, y) = f(x) + g(y) $:
Passo 4
Agora, sabemos que $ f $ tem um valor máximo local em $ t = 2 $. Isso significa que a derivada primeira de $ f $ nesse ponto é zero:
Da mesma forma, $ g $ tem um valor mínimo local em $ t = 5 $, então:
Passo 5
Substituindo esses valores nas derivadas parciais de $ h $, temos:
partial hpartial xg|(2,5) = f'(2) = 0
Isso mostra que no ponto partial hpartial yg|(2,5) = g'(5) = 0 , todas as derivadas parciais de $ h $ são zero. Portanto, (2,5) é realmente um ponto crítico de $ h $.
Passo 6
Agora, para classificar esse ponto crítico, vamos usar a segunda derivada. Precisamos calcular a matriz Hessiana de $ h $ no ponto h . A matriz Hessiana é formada pelas segundas derivadas parciais:
(2,5)
Passo 7
Vamos calcular as segundas derivadas de $ h $:
h
partial^2 hpartial x^2 = f''(x)
partial^2 hpartial y^2 = g''(y)
partial^2 hpartial x partial y = 0
Então, a matriz Hessiana fica:
partial^2 hpartial y partial x = 0
Passo 8
No ponto (2,5), substituímos x = 2 e y = 5:
H(2,5) = f''(2) & 0 0 & g''(5)
Sabemos que $ f $ tem um máximo local em $ t = 2 $, então $ f’’(2) < 0 $. E $ g $ tem um mínimo local em $ t = 5 $, então $ g’’(5) > 0 $.
Passo 9
Para classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana, observamos o determinante dela:
det(H) = f''(2) times g''(5) - 0 times 0 = f''(2) times g''(5)
Como $ f’’(2) < 0 $ e $ g’’(5) > 0 $, o determinante será negativo:
f''(2) < 0
Um determinante negativo na matriz Hessiana indica que o ponto g''(5) > 0 é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo local.
Resposta
O ponto (2,5) é um ponto crítico de $ h $ e, utilizando a segunda derivada, conclui-se que ele é um ponto de sela.