Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo
:
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A condição
. - A condição
. - O universo é
(vetores com 4 coordenadas).
As perguntas implícitas são:satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço (contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar)? Se sim, qual é uma descrição paramétrica, uma base e a dimensão de ?
Passo 2
Primeiro, vamos fixar a definição prática que vamos usar (apenas a fórmula; sem decisões ainda):\n
Um subconjunto
Aqui
,
e
são vetores qualquer de
, e
é um escalar real. Vou verificar essas três propriedades para
.]
Passo 3
Verificação da propriedade (i): contenção do vetor zero.\n
Pegue o vetor nulo . Substituindo nas equações de
:
Pegue o vetor nulo
Ambas as igualdades são verdadeiras, logo
. Portanto a propriedade (i) está satisfeita.
Passo 4
Verificação da propriedade (ii): fechamento por soma.\n
Sejam
Sejam
Pelo pertencimento sabemos que
e
Considere
. Vamos verificar as equações:
Portanto
satisfaz as duas equações e pertence a
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 5
Verificação da propriedade (iii): fechamento por multiplicação por escalar.\n
Seja e
. Temos
e
. Considere
. Então
Seja
Logo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Resumo das verificações até aqui:
,
é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Essas três propriedades são exatamente a condição necessária e suficiente para ser subespaço. (Não repito a resposta final aqui; só deixei registradas as verificações.)
Passo 7
Agora faço uma descrição paramétrica e encontro uma base (útil para a prova e para entender a estrutura de
).\n
Das equações
Das equações
Podemos tomar
e
como variáveis livres (parâmetros). Escreva um vetor genérico de
em termos de
e
:
Agora separe os termos em parâmetros:
Isso mostra que todo vetor de
é combinação linear dos vetores
e
.
Passo 8
Verifico que os dois vetores geradores são linearmente independentes (para garantir que formam uma base): suponha
Isso dá sistema nas coordenadas:
Da primeira equação vem
; da segunda vem
. Assim
, logo os vetores são linearmente independentes. Portanto são base de
.
Passo 9
Conclusões (já feitas as verificações e a descrição paramétrica): a forma paramétrica e a base servem como resposta prática na prova — com isso você pode também afirmar a dimensão de
facilmente (número de vetores da base).
Resposta
Sim.
é subespaço de
.\n
Uma descrição paramétrica: .\n
Uma base: .\n
.
Uma descrição paramétrica:
Uma base: