Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo \mathbb{R}^{n}:
U=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+z=0 e 2 y-t=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x+z=0 \text{ e } 2y-t=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.\n
Informações dadas:
  • A condição x+z=0.
  • A condição 2y-t=0.
  • O universo é \mathbb{R}^{4} (vetores com 4 coordenadas).
    As perguntas implícitas são: U satisfaz as propriedades necessárias para ser subespaço (contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar)? Se sim, qual é uma descrição paramétrica, uma base e a dimensão de U?

Passo 2

Primeiro, vamos fixar a definição prática que vamos usar (apenas a fórmula; sem decisões ainda):\n
Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^n\) é subespaço vetorial se e somente se três propriedades são satisfeitas: \[\begin{cases} \text{(i) } \mathbf{0}\in W,\\[4pt] \text{(ii) } u,v\in W \Rightarrow u+v\in W,\\[4pt] \text{(iii) } \lambda\in\mathbb{R},\; u\in W \Rightarrow \lambda u\in W. \end{cases}
Aqui \mathbf{0}\] é o vetor nulo \((0,0,\dots,0), u e v são vetores qualquer de W, e \lambda é um escalar real. Vou verificar essas três propriedades para U.]

Passo 3

Verificação da propriedade (i): contenção do vetor zero.\n
Pegue o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0,0). Substituindo nas equações de U:
x+z = 0+0 = 0,\qquad 2y-t = 2\cdot 0 - 0 = 0.
Ambas as igualdades são verdadeiras, logo \mathbf{0}\in U. Portanto a propriedade (i) está satisfeita.

Passo 4

Verificação da propriedade (ii): fechamento por soma.\n
Sejam
u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in U,\qquad v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in U.
Pelo pertencimento sabemos que
x_1+z_1=0,\qquad 2y_1-t_1=0,
e
x_2+z_2=0,\qquad 2y_2-t_2=0.
Considere u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2). Vamos verificar as equações:
(x_1+x_2)+(z_1+z_2)=(x_1+z_1)+(x_2+z_2)=0+0=0,
2(y_1+y_2)-(t_1+t_2)=(2y_1-t_1)+(2y_2-t_2)=0+0=0.
Portanto u+v satisfaz as duas equações e pertence a U. Assim U é fechado sob soma.

Passo 5

Verificação da propriedade (iii): fechamento por multiplicação por escalar.\n
Seja u=(x,y,z,t)\in U e \lambda\in\mathbb{R}. Temos x+z=0 e 2y-t=0. Considere \lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda t). Então
\lambda x+\lambda z=\lambda(x+z)=\lambda\cdot 0 = 0,
2(\lambda y)-(\lambda t)=\lambda(2y-t)=\lambda\cdot 0 = 0.
Logo \lambda u\in U. Assim U é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Resumo das verificações até aqui: \mathbf{0}\in U, U é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Essas três propriedades são exatamente a condição necessária e suficiente para ser subespaço. (Não repito a resposta final aqui; só deixei registradas as verificações.)

Passo 7

Agora faço uma descrição paramétrica e encontro uma base (útil para a prova e para entender a estrutura de U).\n
Das equações
x+z=0 \quad\Rightarrow\quad x=-z,
2y-t=0 \quad\Rightarrow\quad t=2y.
Podemos tomar z e y como variáveis livres (parâmetros). Escreva um vetor genérico de U em termos de y e z:
(x,y,z,t)=(-z,\;y,\;z,\;2y).
Agora separe os termos em parâmetros:
(-z,\;y,\;z,\;2y)=z(-1,0,1,0)+y(0,1,0,2).
Isso mostra que todo vetor de U é combinação linear dos vetores (-1,0,1,0) e (0,1,0,2).

Passo 8

Verifico que os dois vetores geradores são linearmente independentes (para garantir que formam uma base): suponha
a(-1,0,1,0)+b(0,1,0,2)=(0,0,0,0).
Isso dá sistema nas coordenadas:
- a = 0,\qquad b = 0,\qquad a = 0,\qquad 2b=0.
Da primeira equação vem a=0; da segunda vem b=0. Assim a=b=0, logo os vetores são linearmente independentes. Portanto são base de U.

Passo 9

Conclusões (já feitas as verificações e a descrição paramétrica): a forma paramétrica e a base servem como resposta prática na prova — com isso você pode também afirmar a dimensão de U facilmente (número de vetores da base).

Resposta

Sim. U é subespaço de \mathbb{R}^4.\n
Uma descrição paramétrica: (x,y,z,t)=z(-1,0,1,0)+y(0,1,0,2).\n
Uma base: \{(-1,0,1,0),\,(0,1,0,2)\}.\n
\dim(U)=2.

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