Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo \mathbb{R}^{n}:
V=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}-y^{2}=0 \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se o subconjunto
V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}-y^{2}=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}-y^{2}=0\}.
O que preciso decidir: se V satisfaz as propriedades que caracterizam um subespaço de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Lembra do que é um subespaço linear? Vou explicar bem devagarinho.
Definição prática: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{n} é subespaço se e somente se:
  1. o vetor zero está em W;
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\cdot u\in W.
Observação útil: para provar que algo NÃO é subespaço basta encontrar uma dessas propriedades que falha (geralmente a soma). Para provar que é subespaço, normalmente mostramos as três propriedades.

Passo 3

Vamos manipular a equação que define V para entender a forma dos vetores.
Começo fatorando:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Logo a condição x^{2}-y^{2}=0 equivale a
(x-y)(x+y)=0,
ou seja, ou x-y=0 (isto é, x=y) ou x+y=0 (isto é, x=-y).
Portanto geometricamente V é a união de dois planos em \mathbb{R}^{3}:
P_{1}=\{(t,t,z)\mid t,z\in\mathbb{R}\}\quad\text{(plano \(x=y\))},
P_{2}=\{(t,-t,z)\mid t,z\in\mathbb{R}\}\quad\text{(plano \(x=-y\))},
e
V = P_{1}\cup P_{2}.

Passo 4

Faço um parêntese didático: cada um desses planos P_{1} e P_{2} é, isoladamente, um subespaço de \mathbb{R}^{3}. Por exemplo, P_{1} contém 0, é fechada sob soma e escalares (se você somar (t,t,z) com (s,s,w) (t+s,t+s,z+w) que continua em P_{1}). Mesma coisa para P_{2}.
Mas atenção: a união de dois subespaços nem sempre é subespaço. Em geral, U\cup W é subespaço só se um dos subespaços está contido no outro (ou seja, se um coincide com o outro ou é menor). Aqui P_{1} e P_{2} são diferentes e nenhum está contido no outro (por exemplo (1,1,0)\in P_{1} mas não está em P_{2}, e (1,-1,0)\in P_{2} mas não está em P_{1}).

Passo 5

Vou mostrar explicitamente que V não é fechado sob soma com um contraexemplo direto — esse é o jeito mais prático na prova.
Escolho
u=(1,1,0)\in P_{1}\subset V
pois 1^{2}-1^{2}=0, e
v=(1,-1,0)\in P_{2}\subset V
pois 1^{2}-(-1)^{2}=0.
Agora somo:
u+v=(1,1,0)+(1,-1,0)=(2,0,0).
Verifico se u+v está em V:
x^{2}-y^{2}=2^{2}-0^{2}=4\neq0.
Portanto (2,0,0)\notin V. Conclusão: V não é fechado sob soma de vetores, logo não é subespaço.

Passo 6

Resumo e interpretação intuitiva: V é a união de dois planos que se cruzam ao longo do eixo z. Cada plano é subespaço, mas a união dos dois não é fechada sob soma — se você soma um vetor de um plano com um vetor do outro, normalmente sai da união. Isso quebra a linearidade que um subespaço exige.

Resposta

Não, V não é subespaço de \mathbb{R}^{3}.

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