Determine se o subconjunto abaixo é subespaço do respectivo
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar se o subconjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas:
O que preciso decidir: se
satisfaz as propriedades que caracterizam um subespaço de
.
Passo 2
Lembra do que é um subespaço linear? Vou explicar bem devagarinho.
Definição prática: um subconjunto
é subespaço se e somente se:
- o vetor zero está em
; -
é fechado sob soma: se e então ; -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Observação útil: para provar que algo NÃO é subespaço basta encontrar uma dessas propriedades que falha (geralmente a soma). Para provar que é subespaço, normalmente mostramos as três propriedades.
Passo 3
Vamos manipular a equação que define
para entender a forma dos vetores.
Começo fatorando:
Logo a condição
equivale a
ou seja, ou
(isto é,
) ou
(isto é,
).
Portanto geometricamente
é a união de dois planos em
:
e
Passo 4
Faço um parêntese didático: cada um desses planos
e
é, isoladamente, um subespaço de
. Por exemplo,
contém
, é fechada sob soma e escalares (se você somar
com
dá
que continua em
). Mesma coisa para
.
Mas atenção: a união de dois subespaços nem sempre é subespaço. Em geral,
é subespaço só se um dos subespaços está contido no outro (ou seja, se um coincide com o outro ou é menor). Aqui
e
são diferentes e nenhum está contido no outro (por exemplo
mas não está em
, e
mas não está em
).
Passo 5
Vou mostrar explicitamente que
não é fechado sob soma com um contraexemplo direto — esse é o jeito mais prático na prova.
Escolho
pois
, e
pois
.
Agora somo:
Verifico se
está em
:
Portanto
. Conclusão:
não é fechado sob soma de vetores, logo não é subespaço.
Passo 6
Resumo e interpretação intuitiva:
é a união de dois planos que se cruzam ao longo do eixo
. Cada plano é subespaço, mas a união dos dois não é fechada sob soma — se você soma um vetor de um plano com um vetor do outro, normalmente sai da união. Isso quebra a linearidade que um subespaço exige.
Resposta
Não,
não é subespaço de
.