Determine se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço de V.
d. V=M22 ; H=A in M22 ; A=(rra & b -b & c)

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial
V = M2times2(R)
e o subconjunto
H = lAin M2times2(R) mid A = a & b -b & c,;a,b,cinRr
O conteúdo é subespaço vetorial. Para mostrar que H é subespaço de V, precisamos verificar três propriedades:
  1. 0-vector em H,
  2. fechado sob soma,
  3. fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero
O = 0 & 0 0 & 0
é de fato do tipo a & b -b & c com a=b=c=0. Logo Oin H.

Passo 3

Fechamento sob soma. Se
A = a1 & b1 -b1 & c1, B = a2 & b2 -b2 & c2
são elementos de H, então
A+B = a1+a2 & b1+b2 -(b1+b2) & c1+c2
Como a1+a2,;b1+b2,;c1+c2inR, vemos que A+B tem a mesma forma e portanto A+Bin H.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Se A=a & b -b & cin H e lambdainR, então
lambda A = lambda a & lambda b -lambda b & lambda c
também é da forma a' & b' -b' & c' com a'=lambda a,;b'=lambda b,;c'=lambda c. Logo lambda Ain H.

Resposta

H é um subespaço de M2times2(R).

Exercícios relacionados