Determine se o subconjunto dado do espaço vetorial é um subespaço de .
f.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial e o subconjunto
Queremos verificar se é subespaço de . Para isso, vamos checar:
contém o vetor zero;
é fechado sob soma;
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se a matriz zero pertence a . A matriz zero em é
Tomando a=0 e b=0, vemos que 0in H. Logo, H não está vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
A=0 & a b & 0, B=0 & a' b' & 0
dois elementos de H. Então
A+B =0 & a b & 0 +0 & a' b' & 0 =0 & a+a' b+b' & 0
Como a+a' e b+b' são escalares quaisquer, A+B também tem a forma l(0 & * * & 0r) e, portanto, A+Bin H.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainK (campo de escalares) e
A=0 & a b & 0in H
Então
lambda A =lambda0 & a b & 0 =0 & lambda a lambda b & 0
Novamente, lambda a e lambda b são escalares quaisquer, logo lambda Ain H.
Passo 5
Como H contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que H é um subespaço de V. Além disso, uma base de H é dada pelos geradores