Determine se o subconjunto dado H do espaço vetorial V é um subespaço de V.
f. V=M22 ; H=A in M22: A=(cc0 & a b & 0)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M2times2 e o subconjunto
H=lAin M2times2:A=0 & a b & 0r
Queremos verificar se H é subespaço de V. Para isso, vamos checar:
  1. H contém o vetor zero;
  2. H é fechado sob soma;
  3. H é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero pertence a H. A matriz zero em M2times2 é
0 = 0 & 0 0 & 0
Tomando a=0 e b=0, vemos que 0in H. Logo, H não está vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam
A=0 & a b & 0, B=0 & a' b' & 0
dois elementos de H. Então
A+B =0 & a b & 0 +0 & a' b' & 0 =0 & a+a' b+b' & 0
Como a+a' e b+b' são escalares quaisquer, A+B também tem a forma l(0 & * * & 0r) e, portanto, A+Bin H.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainK (campo de escalares) e
A=0 & a b & 0in H
Então
lambda A =lambda0 & a b & 0 =0 & lambda a lambda b & 0
Novamente, lambda a e lambda b são escalares quaisquer, logo lambda Ain H.

Passo 5

Como H contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que H é um subespaço de V. Além disso, uma base de H é dada pelos geradores
E12=0 & 1 0 & 0, E21=0 & 0 1 & 0,
e dim H=2.

Resposta

H é subespaço de M2times2.

Exercícios relacionados