Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de C[-1,1]. Justifique as suas respostas.
Funções f em C[-1,1] tais que f(-1)=f(1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S={f∈C[-1,1]: f(-1)=f(1)} é um subespaço vetorial de C[-1,1]. O conteúdo aqui é espaços vetoriais de funções contínuas, e vamos precisar conferir as três propriedades: presença do vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em S: seja f₀(x)=0 para todo x. Então f₀(-1)=0=f₀(1), logo f₀∈S.

Passo 3

Verificamos o fechamento sob adição: tomemos f,g∈S. Então f(-1)=f(1) e g(-1)=g(1). Logo (f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=f(1)+g(1)=(f+g)(1). Assim f+g∈S.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar: seja α∈ℝ e f∈S, com f(-1)=f(1). Então (αf)(-1)=α·f(-1)=α·f(1)=(αf)(1). Logo αf∈S.

Resposta

O conjunto é subespaço vetorial de C[-1,1].

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