Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
. Justifique as suas respostas.
Funções
em
tais que
.
Funções
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto S={f∈C[-1,1]: f(-1)=f(1)} é um subespaço vetorial de C[-1,1]. O conteúdo aqui é espaços vetoriais de funções contínuas, e vamos precisar conferir as três propriedades: presença do vetor zero, fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em S: seja f₀(x)=0 para todo x. Então f₀(-1)=0=f₀(1), logo f₀∈S.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob adição: tomemos f,g∈S. Então f(-1)=f(1) e g(-1)=g(1). Logo (f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=f(1)+g(1)=(f+g)(1). Assim f+g∈S.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar: seja α∈ℝ e f∈S, com f(-1)=f(1). Então (αf)(-1)=α·f(-1)=α·f(1)=(αf)(1). Logo αf∈S.
Resposta
O conjunto é subespaço vetorial de C[-1,1].