Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter bases ortonormais a partir das bases abaixo. A seguir, determine as coordenadas do vetor
em relação à base ortonormal obtida:
Passo 1
A questão pede para transformar a base { nessa base. O conteúdo aqui envolve produto interno, projeção ortogonal e normalização de vetores.
Passo 2
Começamos pegando
. Calculamos seu comprimento com
. Normalizamos para obter
.
Passo 3
Pegamos
e projetamos em
usando
. Calculamos
, logo
. Seu comprimento é
, normalizando obtemos
.
Passo 4
Para
subtraímos as projeções em
e em
. Primeiro
então
. Depois
então
. Logo
. Como
, já temos
.
Passo 5
Agora que
é uma base ortonormal, as coordenadas de
são dadas pelos produtos internos
. Calculamos:
Passo 6
Portanto, as coordenadas de
na base ortonormal
são ((\tfrac{8}3,\tfrac{1}3,-\tfrac{4}3)).
Resposta
(\tfrac{8}{3},,\tfrac{1}{3},,-\tfrac{4}{3})