Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter bases ortonormais a partir das bases abaixo. A seguir, determine as coordenadas do vetor w em relação à base ortonormal obtida:
(1,2,-2),(4,3,2),(1,2,1), w=(2,1,-2)

Passo 1

A questão pede para transformar a base { nessa base. O conteúdo aqui envolve produto interno, projeção ortogonal e normalização de vetores.

Passo 2

Começamos pegando v1=(1,2,-2). Calculamos seu comprimento com |v1|=raiz1^2+2^2+(-2)^2=3. Normalizamos para obter e1=dfracv1|v1|=(tfrac13,tfrac23,-tfrac23).

Passo 3

Pegamos v2=(4,3,2) e projetamos em e1 usando proje1(v2)=(v2cdot e1)e1. Calculamos v2cdot e1=4cdottfrac13+3cdottfrac23+2cdot(-tfrac23)=2, logo u2=v2-2e1=(4,3,2)-(tfrac23,tfrac43,-tfrac43)=(tfrac103,tfrac53,tfrac103). Seu comprimento é |u2|=5, normalizando obtemos e2=(tfrac23,tfrac13,tfrac23).

Passo 4

Para v3=(1,2,1) subtraímos as projeções em e1 e em e2. Primeiro v3cdot e1=1 então proje1(v3)=e1. Depois v3cdot e2=2 então proje2(v3)=2e2. Logo u3=v3-e1-2e2=(1,2,1)-(tfrac13,tfrac23,-tfrac23)-(tfrac43,tfrac23,tfrac43)=(-tfrac23,tfrac23,tfrac13). Como |u3|=1, já temos e3=(-tfrac23,tfrac23,tfrac13).

Passo 5

Agora que (e1,e2,e3) é uma base ortonormal, as coordenadas de w são dadas pelos produtos internos wcdot ei. Calculamos:
wcdot e1=2cdottfrac13+1cdottfrac23+(-2)cdot(-tfrac23)=tfrac83
wcdot e2=2cdottfrac23+1cdottfrac13+(-2)cdottfrac23=tfrac13
wcdot e3=2cdot(-tfrac23)+1cdottfrac23+(-2)cdottfrac13=-tfrac43

Passo 6

Portanto, as coordenadas de w na base ortonormal (e1,e2,e3) são ((\tfrac{8}3,\tfrac{1}3,-\tfrac{4}3)).

Resposta

(\tfrac{8}{3},,\tfrac{1}{3},,-\tfrac{4}{3})

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