Determine se W é subespaço de R^3:
W consistem em vetores (a, b, c) in R^3 para os quais a=2 b.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (a,b,c)inR^3 mid a = 2b
é um subespaço de R^3. Para isso, vamos checar os três critérios clássicos:
  1. O vetor zero pertence a W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W. Aqui a=0, b=0 e de fato
a = 0 = 2cdot 0 = 2b,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
u=(a1,b1,c1)in W, v=(a2,b2,c2)in W,
então a1=2b1 e a2=2b2. A soma é
u+v = (a1+a2,;b1+b2,;c1+c2)
Como
a1+a2 = 2b1 + 2b2 = 2,(b1+b2),
vemos que u+v também satisfaz a condição a=2b, logo u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja lambdainR e u=(a,b,c)in W com a=2b. Então
lambda u = (lambda a,;lambda b,;lambda c)
e
lambda a = lambda,(2b) = 2,(lambda b),
portanto lambda u também satisfaz a condição a=2b, ou seja, lambda uin W.

Resposta

Sim. W é subespaço de R^3.

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