Seja
o conjunto dos pares ordenados
de números complexos. Mostre que
é um espaço vetorial sobre o corpo real
com adição em
e multiplicação por escalar em
definidas por:
-
-
,
em que
e
.
em que
Passo 1
O enunciado define
com as operações
com as operações
e
para todo
.
Precisamos mostrar que satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
.
Precisamos mostrar que
Passo 2
(Fechamento e comutatividade da adição)
Se , então
e
são complexos, logo
.
Além disso, como a soma em é comutativa,
Se
Além disso, como a soma em
Passo 3
(Associatividade da adição)
Para três vetores , pela associatividade em
temos
Para três vetores
e
logo as duas expressões coincidem.
Passo 4
(Existência do vetor nulo e do inverso aditivo)
Definimos
Definimos
onde
é o elemento neutro da soma. Então
Para cada
tomamos o inverso aditivo
pois
Passo 5
(Fechamento da multiplicação por escalar)
Se e
, então
e
são complexos (pois
é corpo sobre
), logo
Se
Passo 6
(Compatibilidade de escalares)
Para e
, usando associatividade da multiplicação em
:
Para
Passo 7
(Escalar
atua como identidade)
Como ,
Como
Passo 8
(Distributividade do escalar sobre soma de vetores)
Para e
:
Para
Passo 9
(Distributividade da soma de escalares sobre vetor)
Para e
:
Para
Resposta
Com isso, todas as propriedades de espaço vetorial sobre
estão verificadas, logo
é de fato um espaço vetorial real com as operações dadas.