Seja V o conjunto dos pares ordenados (z1, z2) de números complexos. Mostre que V é um espaço vetorial sobre o corpo real R com adição em V e multiplicação por escalar em V definidas por:
  • (z1, z2)+(w1, w2)=(z1+w1, z2+w2) ;
  • k(z1, z2)=(k z1, k z2),
    em que z1, z2, w1, w2 in C e k in R.

Passo 1

O enunciado define
V = (z1,z2)mid z1,z2inC
com as operações
(z1,z2)+(w1,w2) = (,z1+w1,,z2+w2,)
e
k,(z1,z2) = (,k,z1,,k,z2,)
para todo kinR.
Precisamos mostrar que V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo R.

Passo 2

(Fechamento e comutatividade da adição)
Se (z1,z2),(w1,w2)in V, então z1+w1 e z2+w2 são complexos, logo (z1+w1,z2+w2)in V.
Além disso, como a soma em C é comutativa,
(z1,z2)+(w1,w2) = (z1+w1,,z2+w2) = (w1+z1,,w2+z2) = (w1,w2)+(z1,z2)

Passo 3

(Associatividade da adição)
Para três vetores (z1,z2),(w1,w2),(u1,u2)in V, pela associatividade em C temos
l((z1,z2)+(w1,w2)r)+(u1,u2) = (z1+w1,,z2+w2)+(u1,u2) = l(z1+w1+u1,,z2+w2+u2r)
e
(z1,z2)+l((w1,w2)+(u1,u2)r) = (z1,z2)+(w1+u1,,w2+u2) = l(z1+w1+u1,,z2+w2+u2r),
logo as duas expressões coincidem.

Passo 4

(Existência do vetor nulo e do inverso aditivo)
Definimos
0 = (0,0),
onde 0inC é o elemento neutro da soma. Então
(z1,z2) + 0 = (z1+0,,z2+0) = (z1,z2)
Para cada (z1,z2) tomamos o inverso aditivo
-(z1,z2) = (-z1,-z2),
pois
(z1,z2) + (-z1,-z2) = (z1-z1,,z2-z2) = (0,0) = 0

Passo 5

(Fechamento da multiplicação por escalar)
Se kinR e (z1,z2)in V, então k,z1 e k,z2 são complexos (pois C é corpo sobre R), logo
k,(z1,z2) = (k,z1,,k,z2) in V

Passo 6

(Compatibilidade de escalares)
Para k,ellinR e (z1,z2)in V, usando associatividade da multiplicação em C:
kl(ell,(z1,z2)r) = k,(ell,z1,,ell,z2) = (k,ell,z1,,k,ell,z2) = (kell),(z1,z2)

Passo 7

(Escalar 1 atua como identidade)
Como 1inR,
1,(z1,z2) = (1cdot z1,,1cdot z2) = (z1,z2)

Passo 8

(Distributividade do escalar sobre soma de vetores)
Para kinR e (z1,z2),(w1,w2)in V:
kl((z1,z2)+(w1,w2)r) = k,(z1+w1,,z2+w2) = (k(z1+w1),,k(z2+w2))
= (kz1+kw1,,kz2+kw2) = (kz1,,kz2) + (kw1,,kw2) = k,(z1,z2) + k,(w1,w2)

Passo 9

(Distributividade da soma de escalares sobre vetor)
Para k,ellinR e (z1,z2)in V:
(k+ell),(z1,z2) = l((k+ell),z1,,(k+ell),z2r) = (kz1+ell z1,,kz2+ell z2)
= (kz1,,kz2) + (ell z1,,ell z2) = k,(z1,z2) + ell,(z1,z2)

Resposta

Com isso, todas as propriedades de espaço vetorial sobre R estão verificadas, logo V é de fato um espaço vetorial real com as operações dadas.

Exercícios relacionados