Determine o subespaço gerado pelos seguintes conjuntos:
(b) A=\left\{\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\\\ 2 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ -2 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 1 & -3\end{array}\right]\right\},

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}) gerado pelo conjunto
A = \left\{\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 1 & -3\end{pmatrix}\right\}.
O conteúdo que vamos usar é definição de span (geração por combinação linear) e manipulação de parâmetros para caracterizar o subespaço.

Passo 2

Sejam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}. Uma combinação linear genérica é
\alpha\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 1 & -3\end{pmatrix}.
Somando entrada a entrada, obtemos
\begin{pmatrix} -\,\alpha + 0 + \gamma & 0 \\[6pt] 2\alpha -2\beta + \gamma & 0 + \beta -3\gamma \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\,\alpha+\gamma & 0 \\[3pt] 2\alpha-2\beta+\gamma & \beta-3\gamma \end{pmatrix}.]

Passo 3

Denotemos
x = -\alpha+\gamma,\quad y = 2\alpha-2\beta+\gamma,\quad z = \beta-3\gamma.
Para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 existe solução (\alpha,\beta,\gamma) desse sistema linear, logo a combinação atinge qualquer matriz
\begin{pmatrix}x&0\y&z\end{pmatrix}.
Isso mostra que
\operatorname{Span}(A) =\Bigl\{\begin{pmatrix}x&0\y&z\end{pmatrix}\Bigm|x,y,z\in\mathbb{R}\Bigr\}.

Passo 4

Vemos que o subespaço gerado tem dimensão 3 e pode ser escrito como
\operatorname{Span}(A) =\Span\Bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\}.
Essas três matrizes formam uma base e correspondem às entradas (1,1), (2,1) e (2,2).

Resposta

O subespaço gerado é
\Bigl\{\begin{pmatrix}x&0\y&z\end{pmatrix}\Bigm|x,y,z\in\mathbb{R}\Bigr\},
de dimensão 3, com base por exemplo \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

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