Determine o subespaço gerado pelos vetores dados:
u=(1,2,-1), v=(2,1,-2) e w=(1,1,-1) em R^3.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de R^3 gerado pelos vetores
u=(1,2,-1), v=(2,1,-2) e w=(1,1,-1).
O conteúdo envolvido é o de combinações lineares, dependência/independência e descrição de subespaços. Vamos primeiro ver se algum desses vetores é combinação dos outros, para então encontrar uma base e caracterizar o subespaço.

Passo 2

Buscamos uma relação entre e . Note que
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ou seja, é combinação linear de e . Isso mostra que

Passo 3

Agora verificamos se
Isso dá o sistema
As duas primeiras equações implicam e são linearmente independentes e formam uma base do subespaço, que tem dimensão 2.

Passo 4

Para descrever o subespaço gerado, escrevemos o vetor genérico como
Chamando e , obtemos . Portanto o subespaço é o plano
ou seja,

Resposta

O subespaço gerado é o plano de equação em , que pode ser dado também por

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