Determine o subespaço gerado pelos vetores dados: e .
Passo 1
O enunciado pede o subespaço de gerado pelos vetores , e .
O conteúdo envolvido é o de combinações lineares, dependência/independência e descrição de subespaços. Vamos primeiro ver se algum desses vetores é combinação dos outros, para então encontrar uma base e caracterizar o subespaço.
Passo 2
Buscamos uma relação entre e . Note que
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ou seja, é combinação linear de e . Isso mostra que
Passo 3
Agora verificamos se
Isso dá o sistema
As duas primeiras equações implicam e são linearmente independentes e formam uma base do subespaço, que tem dimensão 2.
Passo 4
Para descrever o subespaço gerado, escrevemos o vetor genérico como
Chamando e , obtemos . Portanto o subespaço é o plano
ou seja,
Resposta
O subespaço gerado é o plano de equação em , que pode ser dado também por