Determine se os vetores dados são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI) no espaço dado.
u=(1,2) e v=(2,3) em R^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores u=(1,2) e v=(2,3) em R^2 são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso vamos usar a definição: são LI se a única combinação linear
alpha,u+beta,v = (0,0)
ocorre quando alpha=beta=0.

Passo 2

Escrevendo alpha,(1,2)+beta,(2,3)=(0,0) obtemos o sistema
alpha + 2beta = 0, 2alpha + 3beta = 0

Passo 3

Da primeira equação alpha = -2beta. Substituindo na segunda:
2(-2beta) + 3beta = 0 Longrightarrow -4beta+3beta=0 Longrightarrow -beta=0 Longrightarrow beta=0
Então alpha=-2cdot0=0. A única solução é alpha=beta=0, logo os vetores são LI.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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