Responda verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique a sua resposta:
Se um espaço vetorial tem dimensão n e existe um subconjunto linearmente independente com n vetores, então este subconjunto é uma base de V.

Passo 1

O enunciado afirma que um espaço vetorial V tem dimensão n e existe um subconjunto Ssubseteq V com n vetores que é linearmente independente. O conteúdo aqui é a relação entre dimensão, bases, dependência linear e geração de um espaço vetorial. Para mostrar que S é base de V, basta verificar que ela gera V, pois já é dada como linearmente independente.

Passo 2

Definições e teoremas que vamos usar:
  1. A dimensão de V é o número de vetores de qualquer base de V.
  2. Uma base de V é um subconjunto de V que é linearmente independente e gera todo V.
  3. Em um espaço de dimensão n, não existe conjunto linearmente independente com mais de n vetores.

Passo 3

Prova por contradição de que S gera V:
Suponha que S não gere V. Então existe um vetor vin V que não está no span de S. Logo podemos adicionar v a S obtendo um conjunto S' = Scupv com n+1 vetores. Como v não está em span(S), o conjunto S' permanece linearmente independente. Isso contraria o fato de que não há conjunto LI com mais de n vetores em V de dimensão n. Portanto nossa suposição está errada e S gera V.

Resposta

V

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