Responda verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique a sua resposta:
Se um espaço vetorial tem dimensão
e existe um subconjunto linearmente independente com
vetores, então este subconjunto é uma base de
.
Se um espaço vetorial tem dimensão
Passo 1
O enunciado afirma que um espaço vetorial
tem dimensão
e existe um subconjunto
com
vetores que é linearmente independente. O conteúdo aqui é a relação entre dimensão, bases, dependência linear e geração de um espaço vetorial. Para mostrar que
é base de
, basta verificar que ela gera
, pois já é dada como linearmente independente.
Passo 2
Definições e teoremas que vamos usar:
- A dimensão de
é o número de vetores de qualquer base de . - Uma base de
é um subconjunto de que é linearmente independente e gera todo . - Em um espaço de dimensão
, não existe conjunto linearmente independente com mais de vetores.
Passo 3
Prova por contradição de que
gera
:
Suponha que não gere
. Então existe um vetor
que não está no span de
. Logo podemos adicionar
a
obtendo um conjunto
com
vetores. Como
não está em
, o conjunto
permanece linearmente independente. Isso contraria o fato de que não há conjunto LI com mais de
vetores em
de dimensão
. Portanto nossa suposição está errada e
gera
.
Suponha que
Resposta
V