Determine se os vetores dados são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI) no espaço dado.
u=(1,2,-1), v=(2,1,-2) e w=(1,1,-1) em R^3.

Passo 1

Temos os vetores
u=(1,2,-1),
v=(2,1,-2) e
w=(1,1,-1) em R^3
e queremos saber se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD).
Para isso, usamos o fato de que três vetores em R^3 são LI se, e somente se, o determinante da matriz que os tem como linhas (ou colunas) for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são u,v,w:
M = 1 & 2 & -1 2 & 1 & -2 1 & 1 & -1
Calculamos o determinante de M pelo desenvolvimento na primeira linha:
det M = 1cdot1 & -21 & -1 -2cdot2 & -21 & -1 +(-1)cdot2 & 11 & 1
Agora os menores:
1 & -21 & -1 =1cdot(-1)-(-2)cdot1=-1+2=1,
2 & -21 & -1 =2cdot(-1)-(-2)cdot1=-2+2=0,
2 & 11 & 1 =2cdot1-1cdot1=2-1=1
Logo
det M = 1cdot1 - 2cdot0 +(-1)cdot1 = 1 - 0 -1 = 0

Passo 3

Como det M = 0, os três vetores são linearmente dependentes em R^3.
De fato, observando-se que
u + v = (1+2,,2+1,,-1-2) = (3,3,-3) = 3,(1,1,-1) = 3,w,
vemos a combinação não-trivial
u + v - 3,w = 0

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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