Determine o subespaço gerado pelos vetores dados:
u=(1,2) e v=(2,3).

Passo 1

O enunciado pede o subespaço gerado pelos vetores u=(1,2) e v=(2,3) em R^2. O conteúdo aqui é o conceito de span (ou espaço gerado) e a ideia de independência linear.

Passo 2

Para ver se esses vetores são independentes, basta checar se um é múltiplo escalar do outro. Se existisse tinR tal que
v=t,u,
teríamos
(2,3)=t,(1,2)=(t,2t)
Isso exigiria t=2 (para a primeira coordenada) e simultaneamente 2t=3 (para a segunda), mas não há t que satisfaça 2t=3. Logo, u e v são linearmente independentes.

Passo 3

Como estamos em R^2 e temos dois vetores linearmente independentes, o espaço gerado por eles tem dimensão 2, ou seja, ocupa todo o plano R^2.

Resposta

spanu,v=R^2

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