Sejam a=2 i+3 j+k, b=i-j+k, c=4 i-j-5 k e v=-i+5 j+15 k.
b) Escreva o vetor v como combinação linear dos vetores da base a, b, c.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os vetores
a = 2i + 3j + k,
b = i - j + k,
c = 4i - j - 5k
e v = -i + 5j + 15k.
O objetivo é escrever v como combinação linear dos vetores da base a,b,c, ou seja, encontrar escalares x,y,z tais que
v = x,a + y,b + z,c

Passo 2

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
2x + y + 4z = -1, 3x - y - z = 5, x + y - 5z = 15

Passo 3

Da primeira equação isolamos y:
y = -1 - 2x - 4z
Substituindo esse y nas duas últimas equações gera o sistema
5x + 3z = 4, x + 9z = -16

Passo 4

Resolvendo
5x + 3z = 4, x + 9z = -16,
multiplicamos a segunda por 5 e subtraímos da primeira:
5x + 45z = -80 e 5x + 3z = 4 Longrightarrow 42z = -84 Longrightarrow z = -2
Substituindo em x + 9z = -16
x + 9(-2) = -16 Longrightarrow x = 2

Passo 5

Por fim, substituindo x=2 e z=-2 em y = -1 - 2x - 4z obtemos
y = -1 - 2cdot2 - 4cdot(-2) = 3

Resposta

v = 2,a + 3,b - 2,c

Exercícios relacionados