Sejam a=2 i+3 j+k, b=i-j+k, c=4 i-j-5 k e v=-i+5 j+15 k.
a) Mostre que a, b, c é uma base ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
a = 2i + 3j + k, b = i - j + k, c = 4i - j - 5k
Para mostrar que a,b,c é uma base ortogonal, precisamos verificar que o produto interno de cada par de vetores é zero e que todos são não nulos.

Passo 2

Calculemos os produtos internos:
acdotb = (2)(1) + (3)(-1) + (1)(1) = 2 - 3 + 1 = 0
acdotc = (2)(4) + (3)(-1) + (1)(-5) = 8 - 3 - 5 = 0
bcdotc = (1)(4) + (-1)(-1) + (1)(-5) = 4 + 1 - 5 = 0
Além disso, a,b,c são claramente não nulos.

Passo 3

Como todos os produtos internos pares são zero e cada vetor é não nulo, o conjunto é ortogonal e, por ter três vetores em R^3 linearmente independentes, forma uma base ortogonal.

Resposta

a,b,c é uma base ortogonal de R^3.

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