Mostre que os seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços
W=(x, y, z) in R^3 mid 2 x+3 y+z=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = (x,y,z)inR^3 mid 2x+3y+z=0
é um subespaço de R^3.
Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
  1. verificar que o vetor zero está em W;
  2. verificar que W é fechado sob soma;
  3. verificar que W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero (0,0,0) pertence a W. De fato,
2cdot0 + 3cdot0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) dois vetores em W. Então
2x1 + 3y1 + z1 = 0 e 2x2 + 3y2 + z2 = 0
Para a soma u+v = (x1+x2,,y1+y2,,z1+z2) temos
2(x1+x2) + 3(y1+y2) + (z1+z2) = (2x1+3y1+z1) + (2x2+3y2+z2) = 0 + 0 = 0
Logo u+vin W, ou seja, W é fechado sob soma.

Passo 4

Seja u=(x,y,z)in W e lambdainR. Como 2x+3y+z=0, para o vetor lambdau=(lambda x,lambda y,lambda z) temos
2(lambda x) + 3(lambda y) + (lambda z) = lambda,(2x+3y+z) = lambdacdot0 = 0
Portanto lambdauin W, mostrando que W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W satisfaz os três critérios de subespaço vetorial, logo é um subespaço de R^3.

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