Escreva o polinômio p=5-3 x+2 x^2 como combinação dos polinômios m=2+x+4 x^2, n=1-2 x+3 x^2 e q=1+x+x^2

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio
p = 5 - 3x + 2x^2
como combinação linear dos polinômios
m = 2 + x + 4x^2, n = 1 - 2x + 3x^2, q = 1 + x + x^2
O conteúdo aqui é espaço vetorial de polinômios de grau <=2 e combinação linear.

Passo 2

Supondo que existam escalares a, b e c tais que
p = a,m + b,n + c,q,
vamos determinar a, b e c.

Passo 3

Ao expandir e agrupar coeficientes de 1, x e x^2, obtemos o sistema
2a + b + c = 5
a - 2b + c = -3
4a + 3b + c = 2

Passo 4

Eliminando
subtraindo a segunda da terceira:
Agora resolvendo
multiplicando a primeira por (3] e subtraindo da segunda:

então

Passo 5

Para encontrar c, use a primeira equação:
2a + b + c = 5 Longrightarrow 2l(-tfrac254r) + tfrac194 + c = 5 ;Longrightarrow; -tfrac504 + tfrac194 + c = tfrac204 ;Longrightarrow; c = tfrac514

Resposta

p = -tfrac254,m ;+; tfrac194,n ;+; tfrac514,q

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