Nos problemas abaixo são apresentados subconjuntos de R^2 e R^3. Verifique quais deles são subespaços vetoriais destes espaços relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
S=(x, y, z) in R^3 ; y=z^2

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid y = z^2
e pede para verificar se ele é subespaço vetorial de R^3. Para isso, lembramos que é preciso checar três propriedades:
  1. 0in S.
  2. fechamento sob soma vetorial.
  3. fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a S. Como seu componente y=0 e seu componente z=0 satisfazem
0 = 0^2,
concluímos que (0,0,0)in S.

Passo 3

Agora testamos o fechamento sob adição. Tomemos
v1 = (x1,y1,z1), v2 = (x2,y2,z2)in S,
ou seja, y1 = z1^2 e y2 = z2^2. A soma é
v1 + v2 = (,x1 + x2,;y1 + y2,;z1 + z2,)
Para pertencer a S, precisaríamos
y1 + y2 = (z1 + z2)^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2,
porém sabemos
y1 + y2 = z1^2 + z2^2
Isso daria 2z1z2=0 para todo z1,z2, o que não vale em geral. Por exemplo, se z1 = z2 = 1, então
y1 + y2 = 1 + 1 = 2, (z1 + z2)^2 = 4,
logo (v1+v2)notin S. Assim, S não é fechado sob soma vetorial.

Resposta

O conjunto S não é um subespaço vetorial de R^3.

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