Escreva os seguintes vetores como combinação dos vetores v_{1}=(1,2) e v_{2}=(-1,1) em \mathbb{R}^{2}.
v=(1,5)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor v=(1,5) como combinação linear dos vetores
v_{1} = (1,2)
e
v_{2} = (-1,1)
em \mathbb{R}^{2}. O que precisamos é encontrar escalares a e b tais que
v = a\,v_{1} + b\,v_{2}.

Passo 2

Escrevendo a combinação em coordenadas, temos
a\,(1,2) \;+\; b\,(-1,1) \;=\;(1,5).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a - b = 1,\\\\ 2a + b = 5. \end{cases}

Passo 3

Somando as duas equações do sistema, obtemos
(a - b) + (2a + b) = 1 + 5 \quad\Longrightarrow\quad 3a = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.
Substituindo a=2 em a - b = 1, vem
2 - b = 1 \quad\Longrightarrow\quad b = 1.

Resposta

v = 2\,v_{1} + 1\,v_{2}.

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