Escreva os seguintes vetores como combinação dos vetores v_{1}=(1,2) e v_{2}=(-1,1) em \mathbb{R}^{2}.
v=(0,3)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor v=(0,3) como combinação linear dos vetores v_{1}=(1,2) e v_{2}=(-1,1) em \mathbb{R}^{2}. O conteúdo envolvido é combinação linear e base de \mathbb{R}^{2}, e vamos precisar resolver um sistema linear para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\,v_{1} + \beta\,v_{2} = v.
Em coordenadas, isso significa
\alpha\,(1,2) + \beta\,(-1,1) = (0,3).
Ao somar coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha - \beta = 0,\\\\ 2\alpha + \beta = 3. \end{cases}

Passo 3

Do primeiro equação \alpha - \beta = 0 segue que \alpha = \beta. Substituindo em 2\alpha + \beta = 3
2\beta + \beta = 3 \quad\Longrightarrow\quad 3\beta = 3 \quad\Longrightarrow\quad \beta = 1.
Logo \alpha = 1.

Passo 4

Portanto os coeficientes são \alpha=1 e \beta=1. Em outras palavras,
(0,3) = 1\cdot(1,2) + 1\cdot(-1,1).

Resposta

(0,3) = v_{1} + v_{2}.

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