Determine quais as subfórmulas e o comprimento das fórmulas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para listar todas as subfórmulas de ¬(P → ¬P) e calcular o comprimento de cada uma. O conteúdo é lógica proposicional e vamos precisar usar a definição de subfórmula (qualquer parte que também seja fórmula) e a definição de comprimento (número de ocorrências de conectivos e variáveis atômicas).
Passo 2
Uma subfórmula de uma fórmula é qualquer ocorrência de parte da fórmula que, por si só, seja também uma fórmula válida; inclui as fórmulas atômicas, fórmulas formadas por conectivos intermediários e a própria fórmula inteira.
Passo 3
Aplicando isso a ¬(P → ¬P), as subfórmulas são:
As fórmulas atômicas aparecem primeiro: P
A seguir, aparece a negação interna: ¬P
Depois, a implicação completa dentro da negação externa: (P → ¬P)
E por fim a própria fórmula original: ¬(P → ¬P)
As fórmulas atômicas aparecem primeiro: P
A seguir, aparece a negação interna: ¬P
Depois, a implicação completa dentro da negação externa: (P → ¬P)
E por fim a própria fórmula original: ¬(P → ¬P)
Passo 4
O comprimento de uma fórmula ℓ(φ) é dado pela soma de todas as ocorrências de variáveis atômicas e conectivos. Vamos contar cada caso:
Para φ = P temos ℓ§ = 1 (apenas a variável).
Para φ = ¬P temos ℓ(¬P) = ℓ§ + 1 = 1 + 1 = 2 (a variável e o conectivo ¬).
Para φ = (P → ¬P) temos ℓ(P → ¬P) = ℓ§ + ℓ(¬P) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (duas variáveis, um ¬ e um →).
Para φ = ¬(P → ¬P) temos ℓ(¬(P → ¬P)) = ℓ(P → ¬P) + 1 = 4 + 1 = 5 (a implicação interna e o ¬ externo).
Para φ = P temos ℓ§ = 1 (apenas a variável).
Para φ = ¬P temos ℓ(¬P) = ℓ§ + 1 = 1 + 1 = 2 (a variável e o conectivo ¬).
Para φ = (P → ¬P) temos ℓ(P → ¬P) = ℓ§ + ℓ(¬P) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (duas variáveis, um ¬ e um →).
Para φ = ¬(P → ¬P) temos ℓ(¬(P → ¬P)) = ℓ(P → ¬P) + 1 = 4 + 1 = 5 (a implicação interna e o ¬ externo).
Resposta
As subfórmulas de
são
,
,
e
. Os comprimentos são: