Determine o subgrupo A3.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o subgrupo A3 do grupo simétrico S3. O conteúdo aqui é teoria de grupos, em especial subgrupos de permutações e paridade de permutações.

Passo 2

O grupo S3 é formado por todas as permutações de três elementos, totalizando seis elementos: a identidade id, as três transposições (12), (13), (23) e os dois 3-ciclos (123), (132).

Passo 3

A paridade de uma permutação é dada pelo número de transposições necessárias para escrevê-la. Permutações que exigem um número par de transposições são chamadas pares e formam o subgrupo alternante A3.

Passo 4

Em S3, a identidade id é par (0 transposições) e cada 3-ciclo é par (por exemplo, (123)=(12)(23) e (132)=(13)(12)). As transposições simples são ímpares.

Passo 5

Portanto, as únicas permutações pares em S3 são id, (123) e (132), e vemos que sob composição elas formam um subgrupo de ordem 3.
Verificamos clausura, existência de identidade e inversos ( (123)^-1=(132) e vice-versa) e herança de associatividade de S3, confirmando que esse conjunto é de fato um subgrupo.

Resposta

A3 = id,,(123),,(132)

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