Determine o subgrupo
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o subgrupo
do grupo simétrico
. O conteúdo aqui é teoria de grupos, em especial subgrupos de permutações e paridade de permutações.
Passo 2
O grupo
é formado por todas as permutações de três elementos, totalizando seis elementos: a identidade
, as três transposições
,
,
e os dois 3-ciclos
,
.
Passo 3
A paridade de uma permutação é dada pelo número de transposições necessárias para escrevê-la. Permutações que exigem um número par de transposições são chamadas pares e formam o subgrupo alternante
.
Passo 4
Em
, a identidade
é par (0 transposições) e cada 3-ciclo é par (por exemplo,
e
). As transposições simples são ímpares.
Passo 5
Portanto, as únicas permutações pares em
são
,
e
, e vemos que sob composição elas formam um subgrupo de ordem 3.
Verificamos clausura, existência de identidade e inversos ( e vice-versa) e herança de associatividade de
, confirmando que esse conjunto é de fato um subgrupo.
Verificamos clausura, existência de identidade e inversos (