Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando a resposta.
a. Se
é um grupo de ordem 12 então
pode ter um subgrupo de ordem 8 .
b. Sejam
um grupo,
e
um subgrupo de
. Neste caso existe uma bijeção entre as classes laterais
e
.
c. Seja
uma permutação tal que
. Quando se escreve
como produto de transposições, se o número 7 aparecer em uma transposição, então ele tem de aparecer de novo em outra transposição.
d. Se
é um número par então um
-ciclo é uma permutação par.
a. Se
b. Sejam
c. Seja
d. Se
Passo 1
O enunciado pede para julgar quatro afirmações sobre teoria de grupos e permutações: vamos usar o teorema de Lagrange para subgrupos, a noção de bijeção entre cosets, e a definição de paridade de permutações.
Passo 2
a) Aplicamos o teorema de Lagrange, que diz que a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem do grupo. Como 8 não divide 12, não existe subgrupo de ordem 8 em um grupo de ordem 12. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
b) Tanto a classe lateral à esquerda
quanto à direita
têm o mesmo número de elementos de
. Definimos a aplicação
por
. Essa função é injetora (se
então
) e sobrejetora por construção, logo é bijetora. A afirmação é verdadeira.
Passo 4
c) Se uma permutação
fixa 7 (isto é,
), ao escrevê-la como produto de transposições, cada vez que 7 aparece em uma transposição, ela altera seu lugar, e para voltar ao lugar original precisa aparecer novamente. Assim, o número de transposições contendo 7 é par. A afirmação é verdadeira.
Passo 5
d) Um
-ciclo pode ser escrito como produto de
transposições. Se
é par,
é ímpar, logo o ciclo é uma permutação ímpar. A afirmação é falsa.
Resposta
a. Falsa
b. Verdadeira
c. Verdadeira
d. Falsa
b. Verdadeira
c. Verdadeira
d. Falsa