Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando a resposta.
a. Se G é um grupo de ordem 12 então G pode ter um subgrupo de ordem 8 .
b. Sejam G um grupo, a, b in G e H um subgrupo de G. Neste caso existe uma bijeção entre as classes laterais a H e H b.
c. Seja s uma permutação tal que s(7)=7. Quando se escreve s como produto de transposições, se o número 7 aparecer em uma transposição, então ele tem de aparecer de novo em outra transposição.
d. Se k é um número par então um k-ciclo é uma permutação par.

Passo 1

O enunciado pede para julgar quatro afirmações sobre teoria de grupos e permutações: vamos usar o teorema de Lagrange para subgrupos, a noção de bijeção entre cosets, e a definição de paridade de permutações.

Passo 2

a) Aplicamos o teorema de Lagrange, que diz que a ordem de qualquer subgrupo divide a ordem do grupo. Como 8 não divide 12, não existe subgrupo de ordem 8 em um grupo de ordem 12. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

b) Tanto a classe lateral à esquerda aH=a hmid hin H quanto à direita Hb=h'bmid h'in H têm o mesmo número de elementos de H. Definimos a aplicação f:aHto Hb por f(a h)=h b. Essa função é injetora (se h1b=h2b então h1=h2) e sobrejetora por construção, logo é bijetora. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

c) Se uma permutação s fixa 7 (isto é, s(7)=7), ao escrevê-la como produto de transposições, cada vez que 7 aparece em uma transposição, ela altera seu lugar, e para voltar ao lugar original precisa aparecer novamente. Assim, o número de transposições contendo 7 é par. A afirmação é verdadeira.

Passo 5

d) Um k-ciclo pode ser escrito como produto de k-1 transposições. Se k é par, k-1 é ímpar, logo o ciclo é uma permutação ímpar. A afirmação é falsa.

Resposta

a. Falsa
b. Verdadeira
c. Verdadeira
d. Falsa

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