Sejam R=(R,+) e f: R+^* R. Verifique se a aplicação f(x)=log x dada por R+^*=r in R ; r>0 é um homomorfismo de grupos. (Obs: .)

Passo 1

O enunciado diz que temos o grupo multiplicativo R+^*=(R>0,cdot) e o grupo aditivo R=(R,+), e que a aplicação é f:R+^*toR dada por f(x)=log x. Nosso objetivo é verificar se para todo x,y>0 vale f(xy)=f(x)+f(y), além de checar o comportamento em identidade e inversos.

Passo 2

Para ver a condição de homomorfismo, usamos a propriedade dos logaritmos:

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