Escreva a transposição (4,8) in S10 como produto de transposições de números consecutivos.

Passo 1

Então, o enunciado quer que a gente escreva a transposição (4,8) em S10 como um produto só de transposições de elementos consecutivos. Esse assunto faz parte de grupo simétrico, onde o conjunto de geradores mais simples é dado pelas transposições adjacentes (i,i+1). Vamos usar a ideia de que qualquer transposição (i,j), com i, pode ser decomposta nesses geradores.

Passo 2

Na teoria de Sn, existe uma construção padrão: para i, a transposição (i,j) se representa por “empurrar” i até j, trocar, e depois “trazer” de volta. Isso dá a fórmula
(i,j) = (i,i+1)(i+1,i+2)cdots(j-1,j)(j-2,j-1)cdots(i,i+1)

Passo 3

No nosso caso, i=4 e j=8. Substituindo na expressão genérica, a gente obtém:
(4,8) = (4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(6,7)(5,6)(4,5)

Passo 4

Para conferir, basta notar que aplicando cada transposição adjacente em sequência, o elemento 4 “anda” até 8 e vira 8, o 8 “anda” até 4 e vira 4, enquanto os demais números ficam no lugar. Isso prova que a expressão acima é mesmo (4,8).

Resposta

(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(6,7)(5,6)(4,5)

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