Escreva a transposição
como produto de transposições de números consecutivos.
Passo 1
Então, o enunciado quer que a gente escreva a transposição
em
como um produto só de transposições de elementos consecutivos. Esse assunto faz parte de grupo simétrico, onde o conjunto de geradores mais simples é dado pelas transposições adjacentes
. Vamos usar a ideia de que qualquer transposição
, com
, pode ser decomposta nesses geradores.
Passo 2
Na teoria de
, existe uma construção padrão: para
, a transposição
se representa por “empurrar”
até
, trocar, e depois “trazer” de volta. Isso dá a fórmula
Passo 3
No nosso caso,
e
. Substituindo na expressão genérica, a gente obtém:
Passo 4
Para conferir, basta notar que aplicando cada transposição adjacente em sequência, o elemento 4 “anda” até 8 e vira 8, o 8 “anda” até 4 e vira 4, enquanto os demais números ficam no lugar. Isso prova que a expressão acima é mesmo
.
Resposta
(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(6,7)(5,6)(4,5)