Determine uma substituição trigonométrica apropriada.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
integral x^2raizx^2-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem a integral integral x^2raizx^2-2 , dx. O conteúdo que vamos usar aqui é substituição trigonométrica, que é uma técnica para resolver integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Vamos precisar identificar qual substituição trigonométrica é mais adequada para transformar essa integral em uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: x^2 - 2. Isso se parece com a forma a^2 - x^2, que sugere o uso da substituição trigonométrica de secante. Mas na verdade, aqui temos x^2 - a^2, onde a = raiz2. Quando a gente tem uma expressão do tipo x^2 - a^2, a substituição trigonométrica apropriada é:
x = a sectheta
Então, no nosso caso, a = raiz2, então a substituição será:
x = raiz2 sectheta

Passo 3

Agora que escolhemos a substituição x = raiz2 sectheta, precisamos expressar dx em termos de theta. Para isso, vamos derivar x em relação a theta:
dx = raiz2 sectheta tantheta , dtheta

Passo 4

Vamos substituir x e dx na integral original:
integral x^2raizx^2-2 , dx = integral (raiz2 sectheta)^2raiz(raiz2 sectheta)^2 - 2 cdot raiz2 sectheta tantheta , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar cada parte dessa expressão. Primeiro, calculamos x^2:
(raiz2 sectheta)^2 = 2 sec^2theta
Em seguida, simplificamos a expressão dentro da raiz:
(raiz2 sectheta)^2 - 2 = 2 sec^2theta - 2 = 2(sec^2theta - 1) = 2 tan^2theta
Portanto, a raiz fica:
raiz2 tan^2theta = raiz2 tantheta

Passo 6

Substituindo essas simplificações na integral, temos:
integral 2 sec^2thetaraiz2 tantheta cdot raiz2 sectheta tantheta , dtheta
Agora, vamos simplificar os termos:
2 sec^2thetaraiz2 tantheta cdot raiz2 sectheta tantheta = 2 sec^3theta

Passo 7

Agora nossa integral está reduzida a uma integral trigonométrica mais simples:
integral 2 sec^3theta , dtheta

Resposta

Após a substituição trigonométrica apropriada x = raiz2 sectheta, a integral original se transforma em uma integral trigonométrica mais simples:
integral x^2raizx^2-2 , dx = integral 2 sec^3theta , dtheta

Exercícios relacionados