Determine uma substituição trigonométrica apropriada.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
Aplique a substituição para transformar a integral em uma integral trigonométrica. Não é necessário calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é substituição trigonométrica, que é uma técnica para resolver integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Vamos precisar identificar qual substituição trigonométrica é mais adequada para transformar essa integral em uma forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
. Isso se parece com a forma
, que sugere o uso da substituição trigonométrica de secante. Mas na verdade, aqui temos
, onde
. Quando a gente tem uma expressão do tipo
, a substituição trigonométrica apropriada é:
Então, no nosso caso,
, então a substituição será:
Passo 3
Agora que escolhemos a substituição
, precisamos expressar
em termos de
. Para isso, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte dessa expressão. Primeiro, calculamos
:
Em seguida, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Portanto, a raiz fica:
Passo 6
Substituindo essas simplificações na integral, temos:
Agora, vamos simplificar os termos:
Passo 7
Agora nossa integral está reduzida a uma integral trigonométrica mais simples:
Resposta
Após a substituição trigonométrica apropriada
, a integral original se transforma em uma integral trigonométrica mais simples: