Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície
onde
, e
é a esfera com centro na origem e raio 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície
usando o Teorema do Divergente. A função vetorial dada é
, e
é a esfera com centro na origem e raio 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema do Divergente e calcular a divergência de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Divergente. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume do divergente de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente:
Então, nosso primeiro passo é calcular
, a divergência de
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso:
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral de volume. Como
é uma esfera de raio 3 centrada na origem, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume é:
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos agora avaliar a integral. Os limites para
vão de 0 a 3 (raio da esfera), para
vão de 0 a
e para
vão de 0 a
. Então, a integral se torna:
Vamos calcular cada parte separadamente:
Passo 6
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.