Use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície
integralegral duplaS F cdot d S
onde F(x, y, z)=(x^3+y^3) i+(y^3+z^3) j+(x^3+z^3) k, e S é a esfera com centro na origem e raio 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS usando o Teorema do Divergente. A função vetorial dada é F(x, y, z) = (x^3+y^3),i + (y^3+z^3),j + (x^3+z^3),k, e S é a esfera com centro na origem e raio 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema do Divergente e calcular a divergência de F.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Divergente. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma superfície fechada S é igual à integral de volume do divergente de F sobre o volume V limitado por S. Matematicamente:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Então, nosso primeiro passo é calcular nabla cdot F, a divergência de F.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = P,i + Q,j + R,k é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso:
P = x^3 + y^3, Q = y^3 + z^3, R = x^3 + z^3
Então:
partial Ppartial x = 3x^2, partial Qpartial y = 3y^2, partial Rpartial z = 3z^2
Portanto:
nabla cdot F = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos configurar a integral de volume. Como S é uma esfera de raio 3 centrada na origem, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
E o elemento de volume é:
dV = r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi
Substituindo na integral:
integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV 3r^2 , r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi = 3 integral triplaV r^4 sin theta , dr , dtheta , dphi

Passo 5

Vamos agora avaliar a integral. Os limites para r vão de 0 a 3 (raio da esfera), para theta vão de 0 a pi e para phi vão de 0 a 2pi. Então, a integral se torna:
3 integral0^3 r^4 dr integral0^pi sin theta , dtheta integral0^2pi dphi
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. integral0^3 r^4 dr = [ r^55 ]0^3 = 2435
  2. integral0^pi sin theta , dtheta = 2
  3. integral0^2pi dphi = 2pi

Passo 6

Multiplicando os resultados das integrais:
3 times 2435 times 2 times 2pi = 3 times 2435 times 4pi = 29165 pi

Resposta

A integral de superfície é igual a dfrac29165 pi.

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