Determine uma substituição trigonométrica apropriada.
integral x^3(9-4 x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para escolhermos uma substituição trigonométrica para a integral integral x^3(9-4x^2)^3/2,dx. Vamos usar conceitos de substituição trigonométrica para expressar uma diferença de quadrados como seno ou cosseno.

Passo 2

Identificamos que no denominador temos 9-4x^2, que é da forma a^2-u^2 com a=3 e u=2x. A substituição padrão para a^2-u^2 é u=asintheta. Assim, definimos:
Igualando u=2x a 3sintheta obtemos
2x=3sinthetaRightarrow x=32sintheta

Passo 3

Com isso temos também
dx=32costheta,dthetaeraiz9-4x^2=raiz9-9sin^2theta=3costheta
Essa substituição transforma a integral num co
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Resposta

x=tfrac32sintheta

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