Determine o sup e o inf das seguintes sequências:
23 n-4

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o supremo e o ínfimo da sequência
an = 23n - 4
O conteúdo aqui é análise de extremos de uma sequência real.

Passo 2

Primeiro, observamos que para ninN a única restrição é 3n-4 neq 0, mas como 3n-4=0 implica n=tfrac43 que não é natural, a sequência está bem definida para todo n=1,2,3,dots. Vamos listar os primeiros termos:
a1 = 23cdot1 - 4 = -2, a2 = 23cdot2 - 4 = 1, a3 = 23cdot3 - 4 = 25=0,4,;dots

Passo 3

Para n>=2 temos 3n-4>0 e, à medida que n cresce, 3n-4 cresce, logo
an = 23n-4
é uma sequência positiva e estritamente decrescente para n>=2. Além disso,
limntoinftyan = 0

Passo 4

Agora, comparando todos os termos:
  • O maior valor que aparece é a2=1, pois para n>=3 os an são menores que 1 e a1=-2 é menor que 1.
  • O menor valor é a1=-2, pois todos os demais termos a partir de n=2 são não-negativos.
Portanto
supan=1 e infan=-2

Resposta

sup an = 1
inf an = -2

Exercícios relacionados