Determine a superfície dada pela representação paramétrica
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a superfície que é representada pela função paramétrica
. Isso significa que nossa área de estudo é uma superfície no espaço tridimensional, e para descobrirmos qual é essa superfície, precisamos entender como as variáveis
e
influenciam as coordenadas
,
e
. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e álgebra para relacionar essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de
separadamente:
Aqui,
e
são os parâmetros que variam livremente, e queremos eliminar esses parâmetros para encontrar uma equação que relacione
,
e
diretamente.
Passo 3
Observando as equações, vemos que
. Então, podemos substituir
por
nas outras duas equações:
Agora, queremos eliminar o parâmetro
. Para isso, podemos usar a identidade trigonométrica
.
Passo 4
Dividimos
e
por
(assumindo que
):
Agora, elevamos ao quadrado e somamos as duas equações:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 5
A equação
é uma equação conhecida na geometria analítica. Ela representa uma superfície chamada cone de duplo vértice. Esse cone tem seu vértice na origem e se estende indefinidamente em ambas as direções ao longo do eixo
.
Resposta
Portanto, a superfície dada pela representação paramétrica
é um cone de duplo vértice alinhado ao eixo
.