Determine a superfície dada pela representação paramétrica sigma(u, v)=(u, u cos v, u sin v).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar a superfície que é representada pela função paramétrica sigma(u, v) = (u, u cos v, u sin v). Isso significa que nossa área de estudo é uma superfície no espaço tridimensional, e para descobrirmos qual é essa superfície, precisamos entender como as variáveis u e v influenciam as coordenadas x, y e z. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e álgebra para relacionar essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de sigma(u, v) separadamente:
x = u
y = u cos v
z = u sin v
Aqui, u e v são os parâmetros que variam livremente, e queremos eliminar esses parâmetros para encontrar uma equação que relacione x, y e z diretamente.

Passo 3

Observando as equações, vemos que x = u. Então, podemos substituir u por x nas outras duas equações:
y = x cos v
z = x sin v
Agora, queremos eliminar o parâmetro v. Para isso, podemos usar a identidade trigonométrica cos^2 v + sin^2 v = 1.

Passo 4

Dividimos y e z por x (assumindo que x neq 0):
yx = cos v
zx = sin v
Agora, elevamos ao quadrado e somamos as duas equações:
(yx)^2 + (zx)^2 = cos^2 v + sin^2 v = 1
Isso simplifica para:
y^2 + z^2x^2 = 1
Ou seja:
y^2 + z^2 = x^2

Passo 5

A equação y^2 + z^2 = x^2 é uma equação conhecida na geometria analítica. Ela representa uma superfície chamada cone de duplo vértice. Esse cone tem seu vértice na origem e se estende indefinidamente em ambas as direções ao longo do eixo x.

Resposta

Portanto, a superfície dada pela representação paramétrica sigma(u, v) = (u, u cos v, u sin v) é um cone de duplo vértice alinhado ao eixo x.

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