Dê uma representação paramétrica para as seguintes superfícies:
parabolóide elíptico x=5 y^2+2 z^2-10;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma representação paramétrica para a superfície chamada parabolóide elíptico, que é dada pela equação x = 5y^2 + 2z^2 - 10 . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, e vamos precisar entender o que é uma representação paramétrica e como aplicá-la para descrever essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma representação paramétrica. Em vez de descrever uma superfície usando uma única equação envolvendo x, y e z , a gente usa parâmetros (geralmente dois, já que é uma superfície) para expressar cada coordenada em termos desses parâmetros. Isso facilita visualizar e trabalhar com a superfície.

Passo 3

No caso do parabolóide elíptico x = 5y^2 + 2z^2 - 10 , podemos escolher y e z como nossos parâmetros. Vamos chamar y = u e z = v , onde u e v podem variar livremente.

Passo 4

Agora, expressamos x em termos desses parâmetros. A equação original já faz isso: x = 5y^2 + 2z^2 - 10 . Substituindo y por u e z por v , temos:
x = 5u^2 + 2v^2 - 10

Passo 5

Então, nossa representação paramétrica fica assim:
x = 5u^2 + 2v^2 - 10 y = u z = v
Aqui, u e v são os parâmetros que variam, definindo cada ponto na superfície.

Resposta

A representação paramétrica do parabolóide elíptico é:
x = 5u^2 + 2v^2 - 10 y = u z = v
Onde u e v são os parâmetros que podem assumir quaisquer valores reais.

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