Dê uma representação paramétrica para as seguintes superfícies:
parabolóide elíptico ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma representação paramétrica para a superfície chamada parabolóide elíptico, que é dada pela equação . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, e vamos precisar entender o que é uma representação paramétrica e como aplicá-la para descrever essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma representação paramétrica. Em vez de descrever uma superfície usando uma única equação envolvendo e , a gente usa parâmetros (geralmente dois, já que é uma superfície) para expressar cada coordenada em termos desses parâmetros. Isso facilita visualizar e trabalhar com a superfície.
Passo 3
No caso do parabolóide elíptico , podemos escolher e como nossos parâmetros. Vamos chamar e , onde e podem variar livremente.
Passo 4
Agora, expressamos em termos desses parâmetros. A equação original já faz isso: . Substituindo por e por , temos:
Passo 5
Então, nossa representação paramétrica fica assim:
Aqui, u e v são os parâmetros que variam, definindo cada ponto na superfície.
Resposta
A representação paramétrica do parabolóide elíptico é:
x = 5u^2 + 2v^2 - 10 y = u z = v
Onde u e v são os parâmetros que podem assumir quaisquer valores reais.