Neste exercício, suponha que f(x, y)=g(x) h(y) e
R=(x, y): a <= x <= b, c <= y <= d. Mostre que
integralegral duplaR f(x, y) d A=[integrala^b g(x) d x][integralc^d h(y) d y]

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para
f(x,y)=g(x),h(y)
em
R=(x,y)mid a<= x<= b,;c<= y<= d,
vale
integral duplaRf(x,y),dA =gl(integrala^bg(x),dxgr), gl(integralc^dh(y),dygr)
O que vamos usar é a definição de integral dupla via soma de Riemann e a integrabilidade de g e h.

Passo 2

Tomemos uma partição de R dada por
a=x0<x1<cdots<xn=b, c=y0<y1<cdots<ym=d,
e em cada subretângulo
Rij=[xi-1,xi]times[yj-1,yj]
escolhamos um ponto de amostragem (xi^*,yj^*). A soma de Riemann é
S(P) =sumi=1^nsumj=1^m f(xi^*,yj^*), De<a xi,De<a yj,
onde De<a xi=xi-xi-1 e De<a yj=yj-yj-1.

Passo 3

Como f(xi^*,yj^*)=g(xi^*),h(yj^*), a soma fica
S(P) =sumi=1^nsumj=1^m g(xi^*),h(yj^*), De<a xi,De<a yj =l(sumi=1^ng(xi^*)De<a xir) l(sumj=1^mh(yj^*)De<a yjr)

Passo 4

Pelo teorema de Fubini (ou pela definição de integral simples), conforme a malha da partição tende a zero, temos
sumi=1^ng(xi^*)De<a xi ;longrightarrow; integrala^bg(x),dx, sumj=1^mh(yj^*)De<a yj ;longrightarrow; integralc^dh(y),dy
Logo,
S(P)longrightarrow l(integrala^bg(x),dxr) l(integralc^dh(y),dyr)

Passo 5

Pela definição de integral dupla como limite das somas de Riemann, concluímos
integral duplaRf(x,y),dA =lim,malhato0S(P) =l(integrala^bg(x),dxr), l(integralc^dh(y),dyr)

Resposta

integral duplaRf(x,y),dA =l(integrala^bg(x),dxr), l(integralc^dh(y),dyr)

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