Determine a superfície total de um tronco de pirâmide de bases paralelas, sendo as bases quadrados de lados 20 cm e 8 cm respectivamente, e a altura do tronco igual ao lado da base menor.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide cujas bases são quadrados com lados 20\\ \text{cm} (base maior) e 8\\ \text{cm} (base menor). Diz também que a altura do tronco é igual ao lado da base menor.
Pergunta: determinar a superfície total do tronco (ou seja, a soma das áreas das duas bases mais a área lateral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • lado da base maior: 20\\ \text{cm};
  • lado da base menor: 8\\ \text{cm};
  • altura do tronco: h=8\\ \text{cm} (igual ao lado da base menor).

Passo 2

Vamos primeiro calcular a área de cada base: como as bases são quadrados, a área de um quadrado de lado a é dada por
A_{\text{quad}} = a^2,
onde a é o comprimento do lado do quadrado. Aplicando aos dois quadrados dados:
  • área da base maior: A_{\text{maior}} = 20^2,
  • área da base menor: A_{\text{menor}} = 8^2.
Calculemos passo a passo:
A_{\text{maior}} = 20^2 = 400\\ \text{cm}^2,
A_{\text{menor}} = 8^2 = 64\\ \text{cm}^2.

Passo 3

Agora precisamos da área lateral. A área lateral de um tronco de pirâmide com bases quadradas é a soma das áreas de quatro trapézios isósceles (cada face lateral é um trapézio). A área de um trapézio com bases B e b e altura (do trapézio) l é
A_{\text{trap}} = \frac{(B+b)}{2}\cdot l,
onde l aqui é a altura do trapézio — no nosso caso, a altura do trapézio corresponde à geratriz (ou altura inclinada) do tronco, que chamaremos de l (slant height). Para o tronco com bases de lado 20 e 8, cada trapézio tem B=20 e b=8. Logo a área lateral total é
A_{\text{lat}} = 4\cdot A_{\text{trap}} = 4\cdot \frac{(20+8)}{2}\cdot l.

Passo 4

Precisamos encontrar a geratriz l. Para isso, considere a seção perpendicular a uma aresta da base que passa pelo centro do tronco — essa seção corta os dois quadrados por segmentos médios e forma um triângulo retângulo cujos catetos são a altura h do tronco e a diferença entre as meias-arestas das bases. A diferença entre as meias-arestas é
\frac{20-8}{2} = 6\\ \text{cm}.
Aplicamos o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado (onde l é a hipotenusa, h é um cateto e 6 é o outro cateto):
l = \sqrt{h^2 + 6^2}.
Substituindo h=8:
l = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\\ \text{cm}.
Breve explicação do Teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Aqui usamos isso para relacionar a altura vertical do tronco e a diferença horizontal entre meias-arestas com a geratriz inclinada.

Passo 5

Com l=10\\ \text{cm} podemos calcular a área lateral usando a fórmula do Passo 3. Substituindo os valores:
A_{\text{lat}} = 4\cdot \frac{20+8}{2}\cdot 10.
Calculemos em etapas:
\frac{20+8}{2} = \frac{28}{2} = 14,
então
A_{\text{lat}} = 4\cdot 14\cdot 10 = 56\cdot 10 = 560\\ \text{cm}^2.

Passo 6

Finalmente, a superfície total A_{\text{total}} é a soma das áreas das duas bases mais a área lateral:
A_{\text{total}} = A_{\text{maior}} + A_{\text{menor}} + A_{\text{lat}}.
Substituindo os valores obtidos:
A_{\text{total}} = 400 + 64 + 560 = 1024\\ \text{cm}^2.
É sempre bom checar as contas mentalmente: 400+64=464 e 464+560=1024, consistente.

Resposta

\;1024\\ \text{cm}^2

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