Determine a superfície total de um tronco de pirâmide de bases paralelas, sendo as bases quadrados de lados 20 cm e 8 cm respectivamente, e a altura do tronco igual ao lado da base menor.
Passo 1
O enunciado dá um tronco de pirâmide cujas bases são quadrados com lados
(base maior) e
(base menor). Diz também que a altura do tronco é igual ao lado da base menor.
Pergunta: determinar a superfície total do tronco (ou seja, a soma das áreas das duas bases mais a área lateral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Pergunta: determinar a superfície total do tronco (ou seja, a soma das áreas das duas bases mais a área lateral).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- lado da base maior:
; - lado da base menor:
; - altura do tronco:
(igual ao lado da base menor).
Passo 2
Vamos primeiro calcular a área de cada base: como as bases são quadrados, a área de um quadrado de lado
é dada por
onde
é o comprimento do lado do quadrado. Aplicando aos dois quadrados dados:
- área da base maior:
, - área da base menor:
.
Calculemos passo a passo:
Passo 3
Agora precisamos da área lateral. A área lateral de um tronco de pirâmide com bases quadradas é a soma das áreas de quatro trapézios isósceles (cada face lateral é um trapézio). A área de um trapézio com bases
e
e altura (do trapézio)
é
onde
aqui é a altura do trapézio — no nosso caso, a altura do trapézio corresponde à geratriz (ou altura inclinada) do tronco, que chamaremos de
(slant height). Para o tronco com bases de lado
e
, cada trapézio tem
e
. Logo a área lateral total é
Passo 4
Precisamos encontrar a geratriz
. Para isso, considere a seção perpendicular a uma aresta da base que passa pelo centro do tronco — essa seção corta os dois quadrados por segmentos médios e forma um triângulo retângulo cujos catetos são a altura
do tronco e a diferença entre as meias-arestas das bases. A diferença entre as meias-arestas é
Aplicamos o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado (onde
é a hipotenusa,
é um cateto e
é o outro cateto):
Substituindo
:
Breve explicação do Teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Aqui usamos isso para relacionar a altura vertical do tronco e a diferença horizontal entre meias-arestas com a geratriz inclinada.
Passo 5
Com
podemos calcular a área lateral usando a fórmula do Passo 3. Substituindo os valores:
Calculemos em etapas:
então
Passo 6
Finalmente, a superfície total
é a soma das áreas das duas bases mais a área lateral:
Substituindo os valores obtidos:
É sempre bom checar as contas mentalmente:
e
, consistente.