Determine as superfícies de nível da função
e esboce o gráfico das superfícies de nível.
Passo 1
Vamos estudar as superfícies de nível da função
, ou seja, os lugares geométricos dados por
, onde
é constante. O assunto é classificação de quadricas (superfícies de segundo grau) e para isso precisamos ver como o sinal de
muda o tipo de superfície.
Passo 2
As superfícies de nível satisfazem
e podemos classificar o tipo de quadric conforme o valor de
. A teoria de quadricas nos diz que, dependendo do número de termos com sinal positivo e negativo, teremos cones, hipersuperfícies de uma ou de duas folhas.
Passo 3
Caso
: dividindo tudo por
obtemos
Aqui há um único termo positivo (o de
) e dois termos negativos, então é um hipersuperfície de duas folhas (hiperbolóide de duas folhas) com eixo de simetria ao longo de
. As duas folhas ficam uma para
e outra para
, começando em
.
Passo 4
Caso
: a equação vira
que é a equação de um cone duplo (duas folhas conectadas no vértice na origem), pois pode ser escrita como
um cone com eixo ao longo de
.
Passo 5
Caso
: escrevendo
temos
ou equivalentemente
onde agora há dois termos positivos e um negativo, o que define um hipersuperfície de uma folha (hiperbolóide de uma folha), também com eixo ao longo de
. Esse é um único “tubular” em volta do eixo
.
Passo 6
Para esboçar: desenhe o eixo
e marque três tipos de curvas de seção transversal no plano
: para
pontos em
(duas folhas); para
o ponto
(vértice do cone); para
todo
mas com uma “gordura” em volta do eixo formadora do hiperbóide de uma folha. Em cortes transversais (planos paralelos a
) você vê elipses ou hipérboles conforme o caso.
Passo 7
Pronto! Temos as superfícies de nível classificadas: cone duplo em
, hiperbolóide de duas folhas para
e hiperbolóide de uma folha para
, todas com eixo no eixo
.
Resposta
As superfícies de nível são as quadricas dadas por
– para k>0: hiperbolóide de duas folhas
– para k>0: hiperbolóide de duas folhas
– para k=0: cone duplo
– para k<0: hiperbolóide de uma folha
Todas têm eixo de simetria no eixo x. No esboço, no plano y=z=0 aparecem duas folhas (k>0), um ponto-vértice (k=0) e uma forma contínua em volta de x (k<0).