Determine as superfícies de nível da função w(x, y, z)=2 x^2-y^2-z^2 e esboce o gráfico das superfícies de nível.

Passo 1

Vamos estudar as superfícies de nível da função w(x,y,z)=2x^2-y^2-z^2, ou seja, os lugares geométricos dados por 2x^2-y^2-z^2=k, onde k é constante. O assunto é classificação de quadricas (superfícies de segundo grau) e para isso precisamos ver como o sinal de k muda o tipo de superfície.

Passo 2

As superfícies de nível satisfazem
2x^2 - y^2 - z^2 = k
e podemos classificar o tipo de quadric conforme o valor de k. A teoria de quadricas nos diz que, dependendo do número de termos com sinal positivo e negativo, teremos cones, hipersuperfícies de uma ou de duas folhas.

Passo 3

Caso k>0: dividindo tudo por k obtemos
2x^2k - y^2k - z^2k = 1
Aqui há um único termo positivo (o de x^2) e dois termos negativos, então é um hipersuperfície de duas folhas (hiperbolóide de duas folhas) com eixo de simetria ao longo de x. As duas folhas ficam uma para x>0 e outra para x<0, começando em x=pmraizk/2.

Passo 4

Caso k=0: a equação vira
2x^2 - y^2 - z^2 = 0
que é a equação de um cone duplo (duas folhas conectadas no vértice na origem), pois pode ser escrita como
x^2(1/2) = y^2+z^21
um cone com eixo ao longo de x.

Passo 5

Caso k<0: escrevendo m=-k>0 temos
2x^2 - y^2 - z^2 = -m
ou equivalentemente
y^2 + z^2 - 2x^2 = m,
onde agora há dois termos positivos e um negativo, o que define um hipersuperfície de uma folha (hiperbolóide de uma folha), também com eixo ao longo de x. Esse é um único “tubular” em volta do eixo x.

Passo 6

Para esboçar: desenhe o eixo x e marque três tipos de curvas de seção transversal no plano y=z=0: para k>0 pontos em x=pmraizk/2 (duas folhas); para k=0 o ponto x=0 (vértice do cone); para k<0 todo x mas com uma “gordura” em volta do eixo formadora do hiperbóide de uma folha. Em cortes transversais (planos paralelos a y,z) você vê elipses ou hipérboles conforme o caso.

Passo 7

Pronto! Temos as superfícies de nível classificadas: cone duplo em k=0, hiperbolóide de duas folhas para k>0 e hiperbolóide de uma folha para k<0, todas com eixo no eixo x.

Resposta

As superfícies de nível são as quadricas dadas por
– para k>0: hiperbolóide de duas folhas
2x^2 - y^2 - z^2 = k>0;
– para k=0: cone duplo
2x^2 - y^2 - z^2 = 0;
– para k<0: hiperbolóide de uma folha
2x^2 - y^2 - z^2 = k<0
Todas têm eixo de simetria no eixo x. No esboço, no plano y=z=0 aparecem duas folhas (k>0), um ponto-vértice (k=0) e uma forma contínua em volta de x (k<0).

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