Esboce as curvas de nível e determine o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede pra esboçar as curvas de nível de f(x,y)=\frac{x+y}{x2+y2} e depois descrever o gráfico 3D dessa função. O conteúdo envolvido é o de curvas de nível de funções de duas variáveis e análise de superfície em
. Vamos precisar: (1) escrever a equação das curvas de nível
; (2) completar quadrados para reconhecer o tipo de curva; (3) analisar o caso
; (4) interpretar isso no plano
; e (5) usar coordenadas polares para ver o comportamento da superfície.
Passo 2
Para achar as curvas de nível, impomos
. Isso dá
que equivale a
Essa é a equação geral de cada curva de nível associada ao valor
.
Passo 3
Reescrevemos
completando quadrados. Primeiro isolamos:
Agora cada parte:
e igual pra
. Somando:
Logo:
Passo 4
Portanto, pra
as curvas de nível são círculos de centro
e raio
.
Passo 5
No caso especial
, voltamos a
, ou seja, a curva de nível é a reta
.
Passo 6
No plano
isso significa:
- para
, círculos no 1º quadrante que vão encolhendo e se aproximando da origem à medida que ; - para
, círculos análogos no 3º quadrante; - para
, a reta .
Passo 7
Para entender o gráfico em 3D, usamos coordenadas polares
. Tem-se
Passo 8
Isso mostra que para cada direção
a altura
decai como
. À medida que
,
(dependendo do sinal de
), e para
,
.
Podemos então enxergar o gráfico como a superfície formada por uma família de círculos (as curvas de nível) empilhados a alturas . Cada curva em
é
Podemos então enxergar o gráfico como a superfície formada por uma família de círculos (as curvas de nível) empilhados a alturas
Passo 9
Essa descrição completa o esboço tanto no plano de nível quanto em 3D.
Resposta
As curvas de nível são: para
, círculos centrados em
com raio
, e para
, a reta
. O gráfico em 3D é a superfície dada em coordenadas polares por
, que tem picos infinitos perto da origem em direções onde
é positivo ou negativo, e se aproxima de
quando
. Cada curva de nível aparece ao nível
como o círculo correspondente.