Esboce as curvas de nível e determine o gráfico da função
f(x, y)=x+yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede pra esboçar as curvas de nível de f(x,y)=\frac{x+y}{x2+y2} e depois descrever o gráfico 3D dessa função. O conteúdo envolvido é o de curvas de nível de funções de duas variáveis e análise de superfície em R^3. Vamos precisar: (1) escrever a equação das curvas de nível f(x,y)=c; (2) completar quadrados para reconhecer o tipo de curva; (3) analisar o caso c=0; (4) interpretar isso no plano xy; e (5) usar coordenadas polares para ver o comportamento da superfície.

Passo 2

Para achar as curvas de nível, impomos f(x,y)=c. Isso dá
x+yx^2+y^2=c
que equivale a
x+y=c(x^2+y^2)
Essa é a equação geral de cada curva de nível associada ao valor c.

Passo 3

Reescrevemos x+y=c(x^2+y^2) completando quadrados. Primeiro isolamos:
cx^2 - x + cy^2 - y = 0
Agora cada parte:
cx^2 - x = cl(x^2 - xcr) = cl[l(x-12cr)^2 - 14c^2r],
e igual pra y. Somando:
cl(x-12cr)^2 + cl(y-12cr)^2 - 12c = 0
Logo:
l(x-12cr)^2 + l(y-12cr)^2 = 12c^2

Passo 4

Portanto, pra cneq0 as curvas de nível são círculos de centro (1/(2c),1/(2c)) e raio 1/(raiz2,|c|).

Passo 5

No caso especial c=0, voltamos a x+y=0, ou seja, a curva de nível é a reta y=-x.

Passo 6

No plano xy isso significa:
  • para c>0, círculos no 1º quadrante que vão encolhendo e se aproximando da origem à medida que ctoinfty;
  • para c<0, círculos análogos no 3º quadrante;
  • para c=0, a reta y=-x.

Passo 7

Para entender o gráfico em 3D, usamos coordenadas polares (r,theta). Tem-se
f(r,theta)=rcostheta + rsinthetar^2=costheta+sinthetar

Passo 8

Isso mostra que para cada direção theta a altura z decai como 1/r. À medida que rto0, ztopminfty (dependendo do sinal de costheta+sintheta), e para rtoinfty, zto0.
Podemos então enxergar o gráfico como a superfície formada por uma família de círculos (as curvas de nível) empilhados a alturas z=c. Cada curva em z=c é
l(x-tfrac12cr)^2+l(y-tfrac12cr)^2=tfrac12c^2

Passo 9

Essa descrição completa o esboço tanto no plano de nível quanto em 3D.

Resposta

As curvas de nível são: para cneq0, círculos centrados em (tfrac12c,tfrac12c) com raio 1/(raiz2,|c|), e para c=0, a reta y=-x. O gráfico em 3D é a superfície dada em coordenadas polares por z=(costheta+sintheta)/r, que tem picos infinitos perto da origem em direções onde costheta+sintheta é positivo ou negativo, e se aproxima de z=0 quando rtoinfty. Cada curva de nível aparece ao nível z=c como o círculo correspondente.

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