Determine as superfícies de nível das seguintes funções:
w=f(x, y, z)=2 y^{2}+3 z^{2};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as superfícies de nível de
w = f(x,y,z) = 2y^{2} + 3z^{2}.
O conceito de superfície de nível para uma função de três variáveis é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=c\}
para cada constante real c. Aqui vamos interpretar e classificar esses conjuntos em função de c.

Passo 2

Escrevendo a equação geral da superfície de nível f(x,y,z)=c, temos
2y^{2} + 3z^{2} = c.
Observe que x não aparece na equação, ou seja, x é livre em qualquer nível.

Passo 3

Classificação segundo o valor de c:
  1. Se c<0, não há solução real para 2y^{2}+3z^{2}=c, pois as somas de quadrados são não negativas. Logo o nível é o conjunto vazio.
  2. Se c=0, a única possível solução é y=0 e z=0. Nesse caso
2y^{2}+3z^{2}=0\implies y=0,\;z=0,
e x fica livre. O nível é a reta
\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.
  1. Se c>0, reescrevemos
\frac{y^{2}}{(c/2)} + \frac{z^{2}}{(c/3)} = 1.
Isso é uma elipse no plano yz com semi-eixos \sqrt{c/2} em y e \sqrt{c/3} em z, estendida livremente em x. Portanto, para c>0, cada nível é um cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo x.

Resposta

As superfícies de nível de f são dadas por
2y^{2} + 3z^{2} = c,
sendo
  • para c<0: \varnothing,
  • para c=0: a reta \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
  • para c>0: o cilindro elíptico
    \displaystyle \frac{y^{2}}{c/2} + \frac{z^{2}}{c/3} = 1 com x livre.

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