Determine as superfícies de nível das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as superfícies de nível de
O conceito de superfície de nível para uma função de três variáveis é o conjunto
para cada constante real
. Aqui vamos interpretar e classificar esses conjuntos em função de
.
Passo 2
Escrevendo a equação geral da superfície de nível
, temos
Observe que
não aparece na equação, ou seja,
é livre em qualquer nível.
Passo 3
Classificação segundo o valor de
:
-
Se
, não há solução real para , pois as somas de quadrados são não negativas. Logo o nível é o conjunto vazio. -
Se
, a única possível solução é e . Nesse caso
e
fica livre. O nível é a reta
- Se
, reescrevemos
Isso é uma elipse no plano
com semi-eixos
em
e
em
, estendida livremente em
. Portanto, para
, cada nível é um cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo
.
Resposta
As superfícies de nível de
são dadas por
sendo
- para
: , - para
: a reta , - para
: o cilindro elíptico
com livre.