Determine as superfícies de nível das seguintes funções:
w=f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as superfícies de nível da função
w = f(x,y,z) = x^{2} + y^{2} - z.
O conteúdo principal aqui é entender que, para cada valor constante k, a superfície de nível S_{k} é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que f(x,y,z)=k.

Passo 2

Definimos uma constante k\in\mathbb{R} e impomos
f(x,y,z)=k,
isto é,
x^{2} + y^{2} - z = k.

Passo 3

Resolvendo a equação acima para z, obtemos
z = x^{2} + y^{2} - k.
Essa é a equação de cada superfície de nível correspondente ao valor k.

Passo 4

A forma
z = x^{2} + y^{2} - k
representa um paraboloide circular aberto para cima, cujo vértice está em \bigl(0,0,-k\bigr). À medida que k varia, esses paraboloides deslocam-se ao longo do eixo z.

Resposta

Para cada k\in\mathbb{R}, a superfície de nível S_{k} é o paraboloide
z = x^{2} + y^{2} - k.

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