Determine as superfícies de nível das seguintes funções:
w=f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z^{2};

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as superfícies de nível da função
w = f(x,y,z) = x^{2} + y^{2} - z^{2}.
Este é um problema de geometria dos quadros de nível em três variáveis: para cada constante real c, a superfície de nível é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid f(x,y,z)=c\},
ou seja
x^{2} + y^{2} - z^{2} = c.

Passo 2

Para entender que tipo de superfície estes conjuntos geram, comparamos x^{2}+y^{2}-z^{2}=c com as formas padrão de quadráticas:
  • Se c>0, temos dois termos positivos x^2,y^2 e um negativo -z^2 igual a uma constante positiva.
  • Se c<0, os termos positivos ficam menores que o termo -z^2 transformado em positivo no outro lado.
  • Se c=0, não há constante à direita, dando um cone duplo.

Passo 3

Caso c>0:
x^{2}+y^{2}-z^{2}=c>0.
Fixando z, obtemos x^{2}+y^{2}=c+z^{2}, que é sempre > 0. Para z=0 há círculo de raio \sqrt{c}, e conforme |z| cresce, o raio aumenta. Isso descreve um hiperbolóide de uma folha com eixo ao longo de z.

Passo 4

Caso c<0:
x^{2}+y^{2}-z^{2}=c<0 \quad\Longleftrightarrow\quad z^{2}-x^{2}-y^{2}=-c>0.
Para z=0 não há solução (pois x^{2}+y^{2}=-c>0 não se anula). As soluções dividem-se em dois conjuntos z\ge\sqrt{c + x^2+y^2} e z\le -\sqrt{c + x^2+y^2}. Isso é um hiperbolóide de duas folhas, também com eixo em z.

Passo 5

Caso c=0:
x^{2}+y^{2}-z^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=z^{2}.
Isso é exatamente o cone duplo com vértice na origem e eixo em z (ângulo de abertura de 45^\circ entre eixo e geratriz).

Resposta

Para cada c\in\mathbb{R}, a superfície de nível x^{2}+y^{2}-z^{2}=c é:
(a) se c>0, hiperbolóide de uma folha;
(b) se c<0, hiperbolóide de duas folhas;
(c) se c=0, cone duplo.

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