Determine as superfícies de nível das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as superfícies de nível da função
Este é um problema de geometria dos quadros de nível em três variáveis: para cada constante real
, a superfície de nível é o conjunto
ou seja
Passo 2
Para entender que tipo de superfície estes conjuntos geram, comparamos
com as formas padrão de quadráticas:
- Se
, temos dois termos positivos e um negativo igual a uma constante positiva. - Se
, os termos positivos ficam menores que o termo transformado em positivo no outro lado. - Se
, não há constante à direita, dando um cone duplo.
Passo 3
Caso
:
Fixando
, obtemos
, que é sempre > 0. Para
há círculo de raio
, e conforme
cresce, o raio aumenta. Isso descreve um hiperbolóide de uma folha com eixo ao longo de
.
Passo 4
Caso
:
Para
não há solução (pois
não se anula). As soluções dividem-se em dois conjuntos
e
. Isso é um hiperbolóide de duas folhas, também com eixo em
.
Passo 5
Caso
:
Isso é exatamente o cone duplo com vértice na origem e eixo em
(ângulo de abertura de
entre eixo e geratriz).
Resposta
Para cada
, a superfície de nível
é:
(a) se , hiperbolóide de uma folha;
(b) se , hiperbolóide de duas folhas;
(c) se , cone duplo.
(a) se
(b) se
(c) se