Resolva os seguintes PVI (Problema de Valor Inicial): (y^{\prime \prime}-y^{\prime}=\cos (2 x)+\cos (2(x-6)) u_{6}(x))
com as condições iniciais: y(0)=-4, \quad y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y''-y'=\cos(2x)+\cos\bigl(2(x-6)\bigr)\,u_{6}(x),
com y(0)=-4 e y'(0)=0.
O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes com forçamento descontínuo, que vamos tratar por método dos coeficientes indeterminados até x=6 e, a partir de x=6, pelo princípio do degrau (teorema do deslocamento).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea
y''-y'=0.
A equação característica é r^2-r=0, com raízes r=0 e r=1.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x)=C_1 + C_2 e^x.
Passo 3
Para 0\le x<6\) o forçamento é \(\cos(2x)\). Fazemos o ansatz
\[y_p(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x).
Calculando y_p''-y_p' e igualando a \cos(2x) obtemos o sistema
Para x\ge6 entra em ação o termo \cos\bigl(2(x-6)\bigr)u_6(x). Pelo teorema do deslocamento, a contribuição adicional é
v(x-6)\,u_6(x),
onde v(t) resolve
v''-v'=\cos(2t),\quad v(0)=0,\;v'(0)=0.
Repetindo o cálculo de coeficientes indeterminados para v (ou notando que é o mesmo particular anterior ajustado para zeros nas condições iniciais), acha-se