Resolva os seguintes PVI (Problema de Valor Inicial):
(y^{\prime \prime}-y^{\prime}=\cos (2 x)+\cos (2(x-6)) u_{6}(x))
com as condições iniciais:
y(0)=-4, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y''-y'=\cos(2x)+\cos\bigl(2(x-6)\bigr)\,u_{6}(x),
com y(0)=-4 e y'(0)=0.
O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes com forçamento descontínuo, que vamos tratar por método dos coeficientes indeterminados até x=6 e, a partir de x=6, pelo princípio do degrau (teorema do deslocamento).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y''-y'=0.
A equação característica é r^2-r=0, com raízes r=0 e r=1.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x)=C_1 + C_2 e^x.

Passo 3

Para 0\le x<6\) o forçamento é \(\cos(2x)\). Fazemos o ansatz \[y_p(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x).
Calculando y_p''-y_p' e igualando a \cos(2x) obtemos o sistema
\begin{cases} -4A-2B=1,\\\\ 2A-4B=0, \end{cases}
cuja solução é A=-\tfrac15\], \(B=-\tfrac1{10}.
Portanto, para 0\le x<6,
y(x)=C_1 + C_2 e^x -\frac15\cos(2x) -\frac1{10}\sin(2x).

Passo 4

Aplicando as condições iniciais em x=0: y(0)=C_1 + C_2 -\tfrac15=-4 e y'(0)=C_2 -\tfrac15=0.
Dessa forma C_2=\tfrac15 e C_1=-4.
Logo, para 0\le x<6,
y(x)=-4 + \frac{1}{5}e^x -\frac{1}{5}\cos(2x) -\frac{1}{10}\sin(2x).

Passo 5

Para x\ge6 entra em ação o termo \cos\bigl(2(x-6)\bigr)u_6(x). Pelo teorema do deslocamento, a contribuição adicional é
v(x-6)\,u_6(x),
onde v(t) resolve
v''-v'=\cos(2t),\quad v(0)=0,\;v'(0)=0.
Repetindo o cálculo de coeficientes indeterminados para v (ou notando que é o mesmo particular anterior ajustado para zeros nas condições iniciais), acha-se
v(t)=\frac{1}{5}e^t -\frac{1}{5}\cos(2t) -\frac{1}{10}\sin(2t).
Portanto, a solução completa em todo x\ge0 é
y(x)=-4+\frac{1}{5}e^x-\frac{1}{5}\cos(2x)-\frac{1}{10}\sin(2x) +u_{6}(x)\Bigl(\frac{1}{5}e^{\,x-6}-\frac{1}{5}\cos\bigl(2(x-6)\bigr) -\frac{1}{10}\sin\bigl(2(x-6)\bigr)\Bigr).

Resposta

y(x)=-4+\frac{1}{5}e^x-\frac{1}{5}\cos(2x)-\frac{1}{10}\sin(2x) +u_{6}(x)\Bigl(\frac{1}{5}e^{\,x-6}-\frac{1}{5}\cos\bigl(2(x-6)\bigr) -\frac{1}{10}\sin\bigl(2(x-6)\bigr)\Bigr).

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