Questão 4 ( 1,5 pontos) Esboce o gráfico de uma função f, considerando os dados abaixo:
a) f(0)=1, f(2)=0.
b) f^{\prime}(-2)=f^{\prime}(-1)=f^{\prime}(1 / 2)=0.
c) \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=3.
d) \lim _{x \rightarrow \frac{5}{2}^{-}} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow \frac{5}{2}^{+}} f(x)=+\infty.
e) f^{\prime}(x)>0 e m(-\infty,-2) e(-1,1 / 2).
f) f^{\prime}(x)<0 nos intervalos (-2,-1),(1 / 2,5 / 2) e (5 / 2,+\infty).
g) f^{\prime \prime}(x)>0 nos intervalos (-\infty,-3),(-3 / 2,0) e (5 / 2,+\infty).
h) f^{\prime \prime}(x)<0 \mathrm{em}(-3,-3 / 2) \mathrm{e}(0,5 / 2).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função f usando as seguintes informações:
  • pontos f(0)=1 e f(2)=0,
  • derivada nula em x=-2,-1,1/2,
  • limites que definem assíntotas horizontais e vertical,
  • sinais de f' (monotonicidade) e de f'' (concavidade).
    O conteúdo é esboço de curvas a partir de derivadas: usaremos limites para achar assíntotas, critério da primeira derivada para monotonicidade e extremos, e critério da segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

Determinar as assíntotas a partir dos limites:
\lim_{x\to-\infty}f(x)=1\quad\Longrightarrow\quad y=1\text{ é assíntota horizontal à esquerda,}éíà
\lim_{x\to+\infty}f(x)=3\quad\Longrightarrow\quad y=3\text{ é assíntota horizontal à direita,}éíà
\lim_{x\to\frac52^-}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to\frac52^+}f(x)=+\infty \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac52\text{ é assíntota vertical.}éí

Passo 3

Localizar e classificar os extremos usando f'(x):
  • f'(x)=0 em x=-2,-1,\tfrac12.
  • Em (-\infty,-2), f'>0 e em (-2,-1), f'<0 \;\Longrightarrow\;-2 é máximo local.
  • Em (-2,-1), f'<0 e em (-1,\tfrac12), f'>0 \;\Longrightarrow\;-1 é mínimo local.
  • Em (-1,\tfrac12), f'>0 e em (\tfrac12,5/2), f'<0 \;\Longrightarrow\;\tfrac12 é máximo local.

Passo 4

Determinar concavidade e pontos de inflexão com f''(x):
  • f''(x)>0 em (-\infty,-3), (-3/2,0) e (5/2,+\infty) → concavidade para cima nesses intervalos.
  • f''(x)<0 em (-3,-3/2) e (0,5/2) → concavidade para baixo nesses intervalos.
    Pontos de inflexão aproximados em x=-3,-3/2,0.

Passo 5

Esboçar o ramo para x<5/2:
  1. Para x\to-\infty, f se aproxima de y=1, cresce e é côncavo para cima até x=-3.
  2. Em -3<x<-3/2 decresce e passa a côncavo para baixo até o ponto de inflexão em x=-3/2.
  3. Entre -3/2 e 0 cresce (concavidade para cima) até o máximo em x=-2 e depois atinge o mínimo em x=-1.
  4. Em 0 há inflexão (côncavo para baixo a seguir) passando pelo ponto (0,1).
  5. De 0 a 1/2 a curva sobe até o máximo em x=1/2; de 1/2 a 5/2^- decresce (concavidade para baixo) até -\infty na assíntota vertical.

Passo 6

Esboçar o ramo para x>5/2:
  1. De 5/2^+, f vem de +\infty com concavidade para cima.
  2. Decresce em (5/2,+\infty), cruza em x=2 o ponto (2,0) e vai se aproximar assintoticamente de y=3 quando x\to+\infty.

Resposta

O gráfico qualitativo de f apresenta:
  • assíntotas horizontais y=1 (à esquerda) e y=3 (à direita),
  • assíntota vertical x=5/2,
  • máximo local em x=-2, mínimo em x=-1, máximo em x=1/2,
  • inflexões em x=-3,-3/2,0,
  • passa por (0,1) e (2,0),
  • cresce/decresce e concavidade conforme tabela de f' e f'' acima.
    O esboço segue exatamente essas orientações.

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