Questão 4 ( 1,5 pontos) Esboce o gráfico de uma função
, considerando os dados abaixo:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
f)
nos intervalos
e
.
g)
nos intervalos
e
.
h)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função
usando as seguintes informações:
- pontos
e , - derivada nula em
, - limites que definem assíntotas horizontais e vertical,
- sinais de
(monotonicidade) e de (concavidade).
O conteúdo é esboço de curvas a partir de derivadas: usaremos limites para achar assíntotas, critério da primeira derivada para monotonicidade e extremos, e critério da segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
Determinar as assíntotas a partir dos limites:
Passo 3
Localizar e classificar os extremos usando
:
-
em . - Em
, e em , é máximo local. - Em
, e em , é mínimo local. - Em
, e em , é máximo local.
Passo 4
Determinar concavidade e pontos de inflexão com
:
-
em , e → concavidade para cima nesses intervalos. -
em e → concavidade para baixo nesses intervalos.
Pontos de inflexão aproximados em.
Passo 5
Esboçar o ramo para
:
- Para
, se aproxima de , cresce e é côncavo para cima até . - Em
decresce e passa a côncavo para baixo até o ponto de inflexão em . - Entre
e 0 cresce (concavidade para cima) até o máximo em e depois atinge o mínimo em . - Em
há inflexão (côncavo para baixo a seguir) passando pelo ponto . - De 0 a
a curva sobe até o máximo em ; de a decresce (concavidade para baixo) até na assíntota vertical.
Passo 6
Esboçar o ramo para
:
- De
, vem de com concavidade para cima. - Decresce em
, cruza em o ponto e vai se aproximar assintoticamente de quando .
Resposta
O gráfico qualitativo de
apresenta:
- assíntotas horizontais
(à esquerda) e (à direita), - assíntota vertical
, - máximo local em
, mínimo em , máximo em , - inflexões em
, - passa por
e , - cresce/decresce e concavidade conforme tabela de
e acima.
O esboço segue exatamente essas orientações.