Sejam A=(rrr1 & 1 & 2 4 & -3 & 0) e B=(rrr5 & 0 & -3 1 & -2 & 6). Determine:
A^t A

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas matrizes, A e B , e o que precisamos fazer é calcular A^t A . Aqui, A^t significa a transposta da matriz A . Para isso, vamos precisar entender como fazer a transposta de uma matriz e como multiplicar matrizes. Não se preocupe, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transposta da matriz A . A transposta de uma matriz é feita trocando suas linhas por colunas. Se A é uma matriz 2 times 3 , então A^t será uma matriz 3 times 2 .
Dada a matriz:
A = 1 & 1 & 2 4 & -3 & 0
A transposta A^t será:
A^t = 1 & 4 1 & -3 2 & 0

Passo 3

Agora que temos A^t , vamos multiplicar A^t por A . Sabemos que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Aqui, A^t é 3 times 2 e A é 2 times 3 , então a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 3 times 3 .

Passo 4

Vamos realizar a multiplicação elemento a elemento. A fórmula para multiplicar duas matrizes C = A^t A é:
cij = sumk=1^n aik cdot akj
onde n é o número de colunas de A^t (ou linhas de A ).
Vamos calcular cada elemento de C :
  • Elemento (1,1):
c11 = (1 cdot 1) + (4 cdot 4) = 1 + 16 = 17
  • Elemento (1,2):
c12 = (1 cdot 1) + (4 cdot -3) = 1 - 12 = -11
  • Elemento (1,3):
c13 = (1 cdot 2) + (4 cdot 0) = 2 + 0 = 2
  • Elemento (2,1):
c21 = (1 cdot 1) + (-3 cdot 4) = 1 - 12 = -11
  • Elemento (2,2):
c22 = (1 cdot 1) + (-3 cdot -3) = 1 + 9 = 10
  • Elemento (2,3):
c23 = (1 cdot 2) + (-3 cdot 0) = 2 + 0 = 2
  • Elemento (3,1):
c31 = (2 cdot 1) + (0 cdot 4) = 2 + 0 = 2
  • Elemento (3,2):
c32 = (2 cdot 1) + (0 cdot -3) = 2 + 0 = 2
  • Elemento (3,3):
c33 = (2 cdot 2) + (0 cdot 0) = 4 + 0 = 4

Resposta

Portanto, o resultado de A^t A é:
A^t A = 17 & -11 & 2 -11 & 10 & 2 2 & 2 & 4

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