Determine x e y, tal que:
\left[\begin{array}{cc}x+y & 2 x \\\\ 1 & -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ 1 & -2 x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\\\ 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar x e y tais que a soma das duas matrizes dadas é igual à matriz à direita. Dados fornecidos (copiei do enunciado):
\begin{pmatrix}x+y & 2x \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 1 & -2x\end{pmatrix}
e a igualdade desejada é
\begin{pmatrix}x+y & 2x \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 1 & -2x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes listadas:
  • Temos duas matrizes 2\times2 e uma igualdade entre a soma delas e uma terceira matriz 2\times2.
  • As incógnitas são x e y.
  • A resolução exige relacionar entradas correspondentes das matrizes.]

Passo 2

Princípio importante (explicação didática): duas matrizes de mesmo tamanho são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes forem iguais. Ou seja, se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) são 2\times2, então A=B significa
a_{11}=b_{11},\quad a_{12}=b_{12},\quad a_{21}=b_{21},\quad a_{22}=b_{22}.
Aqui vamos usar isso: somamos as duas primeiras matrizes entrada a entrada e igualamos cada entrada resultante à entrada correspondente da matriz à direita.

Passo 3

Somando as matrizes entrada a entrada (mostro cada entrada):
  • Entrada (1,1): (x+y)+3 = x+y+3.
  • Entrada (1,2): 2x + 1.
  • Entrada (2,1): 1 + 1 = 2.
  • Entrada (2,2): -1 + (-2x) = -1 - 2x.
Então a soma é a matriz
\begin{pmatrix}x+y+3 & 2x+1 \\[4pt] 2 & -1-2x\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora igualamos cada entrada da matriz soma à entrada correspondente da matriz do lado direito, obtendo um sistema de equações:
\begin{cases} x+y+3 = -1 &\text{(entrada (1,1))},\\[4pt] 2x+1 = 0 &\text{(entrada (1,2))},\\[4pt] 2 = 2 &\text{(entrada (2,1))},\\[4pt] -1-2x = 0 &\text{(entrada (2,2))}. \end{cases}
Observação: a equação 2=2 é verdadeira e não traz informação nova sobre x ou y.]

Passo 5

Resolvendo as equações que envolvem x:
Da segunda equação (entrada (1,2)):
2x+1=0.
Isolando x: subtraio 1 dos dois lados e divido por 2:
2x = -1 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{1}{2}.
Da quarta equação (entrada (2,2)) verifico consistência:
-1-2x=0 \quad\Rightarrow\quad -2x=1 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{1}{2},
mesma solução, então é consistente.

Passo 6

Agora encontro y usando a primeira equação (entrada (1,1)):
x+y+3 = -1.
Substituo x=-\dfrac{1}{2}:
-\frac{1}{2} + y + 3 = -1.
Calculo passo a passo: -\dfrac{1}{2}+3 = \dfrac{-1+6}{2}=\dfrac{5}{2}. Então
\frac{5}{2} + y = -1.
Isolando y: subtraio \dfrac{5}{2} dos dois lados:
y = -1 - \frac{5}{2} = -\frac{2}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{7}{2}.

Passo 7

Checagem rápida: com x=-\dfrac{1}{2} e y=-\dfrac{7}{2},
  • entrada (1,1): x+y+3 = -\tfrac{1}{2}-\tfrac{7}{2}+3 = -4+3 = -1 OK;
  • entrada (1,2): 2x+1 = 2(-\tfrac{1}{2})+1 = -1+1=0 OK;
  • entrada (2,1): 2=2 OK;
  • entrada (2,2): -1-2x = -1-2(-\tfrac{1}{2}) = -1+1=0 OK.
    Tudo confere.

Resposta

x = -\dfrac{1}{2}
y = -\dfrac{7}{2}

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