Determine a tangente à parábola y^2=4 x no ponto (1,2).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Determine a reta tangente à parábola y^2 = 4x no ponto (1,2)”.
Conteúdo que a gente vai usar:
  • Derivada como inclinação da reta tangente;
  • Derivação implícita (porque a curva está dada por y^2=4x, não por y = f(x));
  • Fórmula da reta a partir de um ponto e do coeficiente angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender derivação implícita.
  1. A derivada dydx mede como y varia quando x varia, ou seja, a inclinação da reta tangente.
  2. Como a equação é y^2 = 4x, a gente deriva dos dois lados em relação a x:
ddxl(y^2r) = ddxl(4xr)
  1. No lado esquerdo, usa-se a regra da cadeia: a derivada de y^2 é 2y vezes dydx. No direito, a derivada de 4x é 4.
    Então obtemos
2y,dydx ;=; 4

Passo 3

Agora isolamos dydx (que também chamamos de y'):
y' = dydx = 42y = 2y
Para achar o coeficiente angular da tangente no ponto (1,2), basta substituir y=2:
y'(1,2) = 22 = 1
Ou seja, a inclinação da reta tangente é m = 1.

Passo 4

Por fim, monta-se a equação da reta que passa por (x0,y0)=(1,2) com coeficiente angular m=1. A fórmula ponto‐inclinação é
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo, fica
y - 2 = 1,(x - 1) Longrightarrow y - 2 = x - 1 Longrightarrow y = x + 1

Resposta

A reta tangente à parábola y^2 = 4x no ponto (1,2) é
boxedy = x + 1

Exercícios relacionados