Determine a taxa de Nyquist para os seguintes sinais:
x(t)=1+cos (2000 pi t)+sin (4000 pi t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a taxa de Nyquist para o sinal $ x(t) = 1 + \cos(2000\pi t) + \sin(4000\pi t) $. Taxa de Nyquist é um conceito da teoria de processamento de sinais que nos ajuda a saber qual a mínima taxa de amostragem necessária para representar um sinal sem perda de informação. Para resolver isso, precisamos identificar as frequências presentes no sinal e usar essa informação para calcular a taxa de Nyquist.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as frequências dos termos no sinal $ x(t) $. O sinal é composto por três partes:
  1. Uma constante: $ 1 $ – não contribui para a frequência.
  2. Um cosseno: $ \cos(2000\pi t) $
  3. Um seno: $ \sin(4000\pi t) $
Vamos focar nos termos que contêm as funções trigonométricas para encontrar suas frequências.

Passo 3

Para encontrar a frequência de $ \cos(2000\pi t) $, usamos a fórmula geral da função cosseno:
cos(2000pi t)
Comparando com $ \cos(2000\pi t) $, temos:
cos(2pi f t)
Dividindo ambos os lados por $ 2\pi $:
cos(2000pi t)

Passo 4

Agora, vamos determinar a frequência de $ \sin(4000\pi t) $ usando a mesma lógica. A fórmula geral é:
sin(4000pi t)
Comparando com $ \sin(4000\pi t) $:
sin(2pi f t)
Dividindo ambos os lados por $ 2\pi $:
sin(4000pi t)

Passo 5

Identificamos que as frequências presentes no sinal são 1000 Hz e 2000 Hz. A taxa de Nyquist é definida como sendo o dobro da maior frequência presente no sinal para evitar o aliasing (sobreposição de frequências). Portanto, precisamos dobrar a maior frequência que encontramos.

Resposta

A taxa de Nyquist para o sinal $ x(t) = 1 + \cos(2000\pi t) + \sin(4000\pi t) $ é 4000 Hz.

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