Determine a taxa de Nyquist para os seguintes sinais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a taxa de Nyquist para o sinal $ x(t) = 1 + \cos(2000\pi t) + \sin(4000\pi t) $. Taxa de Nyquist é um conceito da teoria de processamento de sinais que nos ajuda a saber qual a mínima taxa de amostragem necessária para representar um sinal sem perda de informação. Para resolver isso, precisamos identificar as frequências presentes no sinal e usar essa informação para calcular a taxa de Nyquist.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as frequências dos termos no sinal $ x(t) $. O sinal é composto por três partes:
- Uma constante: $ 1 $ – não contribui para a frequência.
- Um cosseno: $ \cos(2000\pi t) $
- Um seno: $ \sin(4000\pi t) $
Vamos focar nos termos que contêm as funções trigonométricas para encontrar suas frequências.
Passo 3
Para encontrar a frequência de $ \cos(2000\pi t) $, usamos a fórmula geral da função cosseno:
Comparando com $ \cos(2000\pi t) $, temos:
Dividindo ambos os lados por $ 2\pi $:
Passo 4
Agora, vamos determinar a frequência de $ \sin(4000\pi t) $ usando a mesma lógica. A fórmula geral é:
Comparando com $ \sin(4000\pi t) $:
Dividindo ambos os lados por $ 2\pi $:
Passo 5
Identificamos que as frequências presentes no sinal são 1000 Hz e 2000 Hz. A taxa de Nyquist é definida como sendo o dobro da maior frequência presente no sinal para evitar o aliasing (sobreposição de frequências). Portanto, precisamos dobrar a maior frequência que encontramos.
Resposta
A taxa de Nyquist para o sinal $ x(t) = 1 + \cos(2000\pi t) + \sin(4000\pi t) $ é 4000 Hz.