Determine a taxa de variação d y / d x para o valor especificado de x_{0}.
y=\frac{2 x-1}{3 x+5} ; x_{0}=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função dada é y=\dfrac{2x-1}{3x+5}.
  • O ponto onde querem a taxa de variação é x_{0}=1.
  • O que o enunciado pede: calcular \dfrac{d y}{d x} e, em particular, o valor dessa derivada no ponto x=1.

Passo 2

Para derivar uma função que é uma razão de duas funções (uma fração), é prático usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra de forma bem direta e mostrar de onde ela vem.
Se tivermos duas funções u(x) e v(x) e definirmos y(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, podemos reescrever isso como y(x)=u(x)\,v(x)^{-1}. Usando a regra do produto e a regra da cadeia, obtemos:
\frac{d}{dx}\big(u\,v^{-1}\big)=u'\,v^{-1}+u\cdot\big(v^{-1}\big)'.
Agora, usando a regra da cadeia para \big(v^{-1}\big)', que dá \big(v^{-1}\big)'=-v'v^{-2}, temos
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=u'\,v^{-1}-u\,v'\,v^{-2}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Essa é a regra do quociente: \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Na fórmula:
  • u(x) é o numerador da fração;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas respectivas em relação a x.

Passo 3

Identificar u(x) e v(x) na nossa função.
  • Tomei u(x)=2x-1 (o numerador).
  • Tomei v(x)=3x+5 (o denominador).

Passo 4

Calcular as derivadas de u e v.
  • Derivada de u(x)=2x-1 é u'(x)=2.
    Explicação: a derivada de ax+b é a.
  • Derivada de v(x)=3x+5 é v'(x)=3.
    Explicação: mesma ideia, coeficiente de x.
Ambas são constantes porque u e v são funções lineares.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Substituindo u,u',v,v' obtidos:
\frac{dy}{dx}=\frac{2\,(3x+5)-(2x-1)\,3}{(3x+5)^{2}}.

Passo 6

Fazer as multiplicações no numerador e simplificar passo a passo:
Calcular 2\,(3x+5):
2\,(3x+5)=6x+10.
Calcular (2x-1)\,3:
(2x-1)\,3=6x-3.
Agora o numerador fica:
6x+10-(6x-3).

Passo 7

Continuar simplificando o numerador:
6x+10-(6x-3)=6x+10-6x+3=10+3=13.
Portanto a expressão da derivada fica
\frac{dy}{dx}=\frac{13}{(3x+5)^{2}}.

Passo 8

Agora avaliar a derivada no ponto x_{0}=1.
Substituindo x=1 no denominador:
3x+5\big|_{x=1}=3\cdot1+5=8,
logo (3x+5)^{2}\big|_{x=1}=8^{2}=64.
O numerador permanece 13.

Resposta

\dfrac{13}{64}

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